Facebookヘルプセンター から：
無料の@ facebook.comメールアドレスを設定するにはどうすればよいですか？無料の@ facebook.comアドレスを設定するには、メッセージビューに移動し、[Facebookのメールを申請する]リンクをクリックします。
あなたのメールアドレスはあなたの公開ユーザー名と一致します、例えば：
プロフィール：facebook.com/usernameメール：[email protected]
ユーザー名がまだない場合は、メールアドレスを作成するときに選択できます。
メールアドレスを設定すると、従来のメールシステム（Hotmail、Yahoo、Gmailなど）を使用して他のユーザーがあなたにメールを送信できるようになり、そのメールがFacebookメッセージに配信されます。メッセージを外部のメールアドレスに送信すると、メールは、名前、プロフィール写真、メッセージを含むFacebookメッセージのようにフォーマットされます。
これはFacebookからの公式情報のようですが、receive電子メールシステムからの電子メールを指し、sendを指していません他の場所から、ただしFacebook Web内から。
これに対する解決策が見つかるといいのですが。
幸運を！