web-dev-qa-db-ja.com

リンクされたリストでサイクルの開始を検出したことの証明

Stackoverflowの内部と外部のいくつかの投稿から、リンクリスト内のサイクル、つまりサイクルの長さを検出する方法がわかりました。また、ループの開始を検出する方法についても見つけました。

参考のために、もう一度手順を示します。

検出ループ：

伝統的にウサギとカメと呼ばれる2つのポインターがあります。ウサギを2ステップ移動し、亀を1ずつ移動します。ある時点で出会った場合は、必ずサイクルがあり、出会いのポイントは明らかにサイクルの内側にあります。

ループの長さを見つける：

1つのポインターをミーティングポイントに固定したまま、もう1つのポインターが同じになるまでインクリメントします。進むにつれてカウンターをインクリメントします。出会ったときのカウンター値はサイクルの長さになります。

サイクルの開始を見つける

1つのポインターをリストの開始点に移動し、もう1つのポインターを待ち合わせポイントに置きます。これで、1つずつ増加し、ミートポイントがループの開始点になります。いくつかのケースを使用して方法を紙で検証しましたが、なぜそれが機能するのか理解できません。

誰かがこの方法が機能する理由について数学的な証明を提供できますか？

algorithmlinked-list
34
Shamim Hafiz

ミーティングポイントを使用しない場合は、「サイクルの開始を見つける」証明を簡単にすることができます。
2番目のポインターを「ミーティングポイント」ではなく開始しますが、Mは最初のポインターの前に進みます。 （ここで、Mはループの長さです。）

このように、証明はかなり明白です。最初のポインターがループの開始に到達すると、2番目は正確にMステップ先になります。これもループの開始時です。

20
Nikita Rybak

最初のノードへのポインタでリストを表す場合（list）

enter image description here

ループを検出するアルゴリズムは次のとおりです。

  1. 2つのポインター（pFast）と（pSlow）を宣言します。
  2. pSlowおよびpFastがlistを指すようにします。
  3. （pSlow）、（pFast）または両方がNULLを指すまで：
    1. enter image description here
    2. enter image description here
    3. もし enter image description here、ループが見つかったのでSTOPを実行します。
  4. このポイントに達した場合（一方または両方のポインターがNULLの場合）、リストにはループがありません。

このアルゴリズムが正しいと仮定しましょう。このスキームでは、ループ状況は次の図で表されます。

enter image description here

ループの開始を指すノードを除くすべてのノードに、ターゲットの数から1を引いた数のラベルが付けられていることに注意してください。したがって、1つのノードにiのラベルが付けられていて、それがループの開始ではない場合、そのノードはi-1のラベルが付けられたノードによって次の要素としてポイントされます。

上記で説明したアルゴリズムは、そのメインステップ（3）が終了条件が満たされるまで繰り返されるサブステップのセットであるため、ループとして説明できます。これにより、アルゴリズム実行の反復数（t）の関数でpFastおよびpSlowを表す必要があります。

enter image description here

リストにループがない場合、ポインターの位置はtの関数で次のように記述されます。

enter image description here

ただし、ループが開始するノードがあり、その関数はポインターの進化の記述を停止します。このポインターがmでタグ付けされていると仮定すると、ループにはノードが含まれます（つまり enter image description here そして enter image description here）、およびt =を反復値として設定すると、 enter image description here 次に：

enter image description here

記述されたアルゴリズムを使用してループを検出するのに1つのポインターが確かに十分である場合、それは少なくとも方程式の解が存在している必要があります。 enter image description here。

この方程式は、tの値が次のようになる場合にのみ当てはまります。

enter image description here

これは関数で終わり、enter image description here 上記の方程式の有効な解であるtの値を生成します。

enter image description here

enter image description here

したがって、1つの低速ポインタと1つの高速ポインタで、リンクされたリストのループ状態を検出するのに十分であることが証明されています。

54
Pablo Francisco Pérez Hidalgo

会議前にslowPointerが移動した距離= x + y

会議前にfastPointerが移動した距離=（x + y + z）+ y = x + 2y + z

FastPointerはslowPointerの2倍の速度で移動するため、がミーティングポイントに到達するまでの時間はどちらも一定です。

したがって、単純な速度、時間、距離の関係2（x + y）= x + 2y + z => x + 2y + z = 2x + 2y => x = z

したがって、slowPointerをリンクリストの先頭に移動し、slowPointerとfastPointerの両方が一度に1つのノードを移動するようにすると、どちらもカバーする距離が同じになります。

それらは、リンクされたリストでループが開始するポイントに到達します。

Diagram of proof

14
user5449813

彼らが会ったときにそれが出発点であるというのは本当ではないと思います。しかし、他のポインター（F）が前のミーティングポイントにあった場合、そのポインターはループの開始ではなくループの最後にあり、リストの先頭から開始したポインター（S）はループの開始時に終了します。たとえば：

enter image description here

FをFastとして開始し、Sが9時に会議が終了するのと同じくらい遅い速度で開始します。 Sを最初から再開すると、ループの開始時に到達しますが、7になりますが、fは16になります。

私が間違っているかどうか教えてください

0
MrA

2番目の部分は、「ループの開始点を見つけるには、1つのポインターをリストの先頭に戻し、両方が出会うまで繰り返す」は間違っています。

正しい次の場合のみ高速ポインタがループを正確に1周した-ループの開始前の部分がループの長さよりも短い-しかし、それよりも長い場合は、アルゴリズム動作しません。無限ループに陥る可能性があります。

11個の要素を含むリンクリストで試してください。11番目は7番目を指します。

1 1-> 3 2-> 5 3-> 7 4-> 9 5-> 11 6-> 8 7-> 10 8-> 7 9-> 9 9

-ループが検出されました

1つ後ろに移動して開始し、インクリメントします。19-> 2 10-> 3 11-> 4 7-> 5 8-> 6 9-> 7 10-> 8 11-> 9 7-> 10 8-> 11 9-> 7 10-> 8 11-> ...

0
PaulJ