円線セグメントの衝突検出アルゴリズム？
AからBまでの線と、半径RのCに配置された円があります。
線が円と交差するかどうかを確認するために使用する良いアルゴリズムは何ですか？円のエッジに沿ったどの座標で発生しましたか？
取って
- Eは光線の開始点です。
- Lは光線の終点です。
- Cは、テスト対象の球の中心です
- rはその球の半径です
計算：
d = L-E（光線の方向ベクトル、開始から終了まで）
f = E-C（中心球から光線開始点までのベクトル）
その後、交差点が見つかります。
プラグイン：
P = E + t * d
これはパラメトリック方程式です。
Pバツ = Eバツ + tdバツ
Py = Ey + tdy
に
（x-h）2 +（y-k）2 = r2
（h、k）=円の中心。
注：ここでは、問題を2Dに単純化しました。取得したソリューションは3Dにも適用されます
取得する：
- 展開
バツ2 -2xh + h2 + y2 -2yk + k2 -r2 = 0 - プラグ
x = eバツ + tdバツ
y = ey + tdy
（eバツ + tdバツ ）2 -2（eバツ + tdバツ ）h + h2 +（ey + tdy ）2 -2（ey + tdy ）k + k2 -r2 = 0 - 爆発する
eバツ2 + 2eバツtdバツ + t2dバツ2 -2eバツh-2tdバツh + h2 + ey2 + 2eytdy + t2dy2 -2eyk-2tdyk + k2 -r2 = 0 - グループ
t2（dバツ2 + dy2 ）+ 2t（eバツdバツ + eydy -dバツh-dyk）+ eバツ2 + ey2 -2eバツh-2eyk + h2 + k2 -r2 = 0 - 最後に
t2（_d * _d）+ 2t（_e * _d-_d * _c）+ _e * _e-2（_e * _c）+ _c * _c-r2 = 0
*ここで、_dはベクトルd、*は内積です。* - そして、
t2（_d * _d）+ 2t（_d *（_e-_c））+（_e-_c）*（_e-_c）-r2 = 0 - _ f = _e-_cをレッティング
t2（_d * _d）+ 2t（_d * _f）+ _f * _f-r2 = 0
だから我々は得る：
t2 *（d DOT d）+ 2t *（f DOT d）+（f DOT f-r2 0）==
だから二次方程式を解く：
float a = d.Dot( d ) ;
float b = 2*f.Dot( d ) ;
float c = f.Dot( f ) - r*r ;
float discriminant = b*b-4*a*c;
if( discriminant < 0 )
{
// no intersection
}
else
{
// ray didn't totally miss sphere,
// so there is a solution to
// the equation.
discriminant = sqrt( discriminant );
// either solution may be on or off the ray so need to test both
// t1 is always the smaller value, because BOTH discriminant and
// a are nonnegative.
float t1 = (-b - discriminant)/(2*a);
float t2 = (-b + discriminant)/(2*a);
// 3x HIT cases:
// -o-> --|--> | | --|->
// Impale(t1 hit,t2 hit), Poke(t1 hit,t2>1), ExitWound(t1<0, t2 hit),
// 3x MISS cases:
// -> o o -> | -> |
// FallShort (t1>1,t2>1), Past (t1<0,t2<0), CompletelyInside(t1<0, t2>1)
if( t1 >= 0 && t1 <= 1 )
{
// t1 is the intersection, and it's closer than t2
// (since t1 uses -b - discriminant)
// Impale, Poke
return true ;
}
// here t1 didn't intersect so we are either started
// inside the sphere or completely past it
if( t2 >= 0 && t2 <= 1 )
{
// ExitWound
return true ;
}
// no intn: FallShort, Past, CompletelyInside
return false ;
}
誰も投影を検討していないようですが、私はここで完全に軌道に乗っていますか？
ベクトルACをABに投影します。投影ベクトルADは、新しい点Dを提供します。DとCの間の距離がRより小さい（または等しい）場合、交点があります。
このような：
アルゴリズムを使用して、点（円の中心）と線（線AB）の間の距離を計算します。これを使用して、線と円の交点を決定できます。
点A、B、Cがあるとしましょう。AxとAyはA点のxとy成分です。 BおよびCでも同じです。スカラーRは円の半径です。
このアルゴリズムでは、A、B、およびCが別個のポイントであり、Rが0でないことが必要です。
これがアルゴリズムです
// compute the euclidean distance between A and B
LAB = sqrt( (Bx-Ax)²+(By-Ay)² )
// compute the direction vector D from A to B
Dx = (Bx-Ax)/LAB
Dy = (By-Ay)/LAB
// the equation of the line AB is x = Dx*t + Ax, y = Dy*t + Ay with 0 <= t <= LAB.
// compute the distance between the points A and E, where
// E is the point of AB closest the circle center (Cx, Cy)
t = Dx*(Cx-Ax) + Dy*(Cy-Ay)
// compute the coordinates of the point E
Ex = t*Dx+Ax
Ey = t*Dy+Ay
// compute the euclidean distance between E and C
LEC = sqrt((Ex-Cx)²+(Ey-Cy)²)
// test if the line intersects the circle
if( LEC < R )
{
// compute distance from t to circle intersection point
dt = sqrt( R² - LEC²)
// compute first intersection point
Fx = (t-dt)*Dx + Ax
Fy = (t-dt)*Dy + Ay
// compute second intersection point
Gx = (t+dt)*Dx + Ax
Gy = (t+dt)*Dy + Ay
}
// else test if the line is tangent to circle
else if( LEC == R )
// tangent point to circle is E
else
// line doesn't touch circle
さて、私はあなたにコードを差し上げませんが、あなたがこれをタグ付けしたので algorithm 、それはあなたにとって重要ではないと思います。まず、線に垂直なベクトルを取得する必要があります。
y = ax + cに不明な変数があります（cは不明です）
それを解決するために、線が円の中心を通過するときの値を計算します。
あれは、
円の中心の位置を直線方程式に差し込み、cを解きます。
次に、元の線とその法線の交点を計算します。
これにより、円に最も近い直線上の点が得られます。
この点と円の中心の間の距離を計算します（ベクトルの大きさを使用）。
これが円の半径より小さい場合-出来上がり、交差点があります！
別の方法では、三角形のABC面積式を使用します。交差テストは、投影法よりも簡単で効率的ですが、交差点の座標を見つけるには、より多くの作業が必要です。少なくとも、必要な時点まで遅延されます。
三角形の面積を計算する式は次のとおりです。area = bh/2
ここで、bはベースの長さ、hは高さです。セグメントABをベースとして選択し、hが円の中心であるCからラインまでの最短距離になるようにしました。
三角形の面積もベクトルの内積によって計算できるため、hを決定できます。
// compute the triangle area times 2 (area = area2/2)
area2 = abs( (Bx-Ax)*(Cy-Ay) - (Cx-Ax)(By-Ay) )
// compute the AB segment length
LAB = sqrt( (Bx-Ax)² + (By-Ay)² )
// compute the triangle height
h = area2/LAB
// if the line intersects the circle
if( h < R )
{
...
}
更新1：
here で説明した高速逆平方根計算を使用して、1/LABの適切な近似値を取得することにより、コードを最適化できます。
交点の計算はそれほど難しくありません。ここに行く
// compute the line AB direction vector components
Dx = (Bx-Ax)/LAB
Dy = (By-Ay)/LAB
// compute the distance from A toward B of closest point to C
t = Dx*(Cx-Ax) + Dy*(Cy-Ay)
// t should be equal to sqrt( (Cx-Ax)² + (Cy-Ay)² - h² )
// compute the intersection point distance from t
dt = sqrt( R² - h² )
// compute first intersection point coordinate
Ex = Ax + (t-dt)*Dx
Ey = Ay + (t-dt)*Dy
// compute second intersection point coordinate
Fx = Ax + (t+dt)*Dx
Fy = Ay + (t+dt)*Dy
H = Rの場合、線ABは円の接線であり、値dt = 0およびE = Fです。点座標はEおよびFの座標です。
アプリケーションでこれが発生する可能性がある場合、AがBと異なり、セグメント長がnullでないことを確認する必要があります。
円の中心点を直線上に投影して交差点をテストする小さなスクリプトを作成しました。
vector distVector = centerPoint - projectedPoint;
if(distVector.length() < circle.radius)
{
double distance = circle.radius - distVector.length();
vector moveVector = distVector.normalize() * distance;
circle.move(moveVector);
}
http://jsfiddle.net/ercang/ornh3594/1/
セグメントとの衝突を確認する必要がある場合は、開始点と終了点までの円の中心の距離も考慮する必要があります。
vector distVector = centerPoint - startPoint;
if(distVector.length() < circle.radius)
{
double distance = circle.radius - distVector.length();
vector moveVector = distVector.normalize() * distance;
circle.move(moveVector);
}
私が見つけたこの解決策は、他のいくつかの解決策よりもやや簡単に思えました。
撮影：
p1 and p2 as the points for the line, and
c as the center point for the circle and r for the radius
勾配切片形式の直線の方程式を解きます。ただし、cを点とする難しい方程式に対処する必要はなかったので、円が0,0になるように座標系をシフトしました。
p3 = p1 - c
p4 = p2 - c
ちなみに、ポイントを互いに引き算するたびに、xを引き、次にyを引き、誰かが知らない場合に備えて、それらを新しいポイントに入れています。
とにかく、行の方程式をp3とp4で解きます：
m = (p4_y - p3_y) / (p4_x - p3) (the underscore is an attempt at subscript)
y = mx + b
y - mx = b (just put in a point for x and y, and insert the m we found)
OK。次に、これらの方程式を等しく設定する必要があります。最初に、xの円の方程式を解く必要があります
x^2 + y^2 = r^2
y^2 = r^2 - x^2
y = sqrt(r^2 - x^2)
次に、それらを等しく設定します。
mx + b = sqrt(r^2 - x^2)
そして、二次方程式（0 = ax^2 + bx + c）を解きます：
(mx + b)^2 = r^2 - x^2
(mx)^2 + 2mbx + b^2 = r^2 - x^2
0 = m^2 * x^2 + x^2 + 2mbx + b^2 - r^2
0 = (m^2 + 1) * x^2 + 2mbx + b^2 - r^2
これで、a、b、およびcができました。
a = m^2 + 1
b = 2mb
c = b^2 - r^2
だから私はこれを二次式に入れました：
(-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
そして、値で置き換えてから、可能な限り単純化します。
(-2mb ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
(-2mb ± sqrt((-2mb)^2 - 4(m^2 + 1)(b^2 - r^2))) / 2(m^2 + 1)
(-2mb ± sqrt(4m^2 * b^2 - 4(m^2 * b^2 - m^2 * r^2 + b^2 - r^2))) / 2m^2 + 2
(-2mb ± sqrt(4 * (m^2 * b^2 - (m^2 * b^2 - m^2 * r^2 + b^2 - r^2))))/ 2m^2 + 2
(-2mb ± sqrt(4 * (m^2 * b^2 - m^2 * b^2 + m^2 * r^2 - b^2 + r^2)))/ 2m^2 + 2
(-2mb ± sqrt(4 * (m^2 * r^2 - b^2 + r^2)))/ 2m^2 + 2
(-2mb ± sqrt(4) * sqrt(m^2 * r^2 - b^2 + r^2))/ 2m^2 + 2
(-2mb ± 2 * sqrt(m^2 * r^2 - b^2 + r^2))/ 2m^2 + 2
(-2mb ± 2 * sqrt(m^2 * r^2 + r^2 - b^2))/ 2m^2 + 2
(-2mb ± 2 * sqrt(r^2 * (m^2 + 1) - b^2))/ 2m^2 + 2
これは、ほぼ単純化される限りです。最後に、±を使用して方程式に分離します。
(-2mb + 2 * sqrt(r^2 * (m^2 + 1) - b^2))/ 2m^2 + 2 or
(-2mb - 2 * sqrt(r^2 * (m^2 + 1) - b^2))/ 2m^2 + 2
次に、これらの式の両方の結果をmx + bのxにプラグインします。明確にするために、これを使用する方法を示すJavaScriptコードをいくつか作成しました。
function interceptOnCircle(p1,p2,c,r){
//p1 is the first line point
//p2 is the second line point
//c is the circle's center
//r is the circle's radius
var p3 = {x:p1.x - c.x, y:p1.y - c.y} //shifted line points
var p4 = {x:p2.x - c.x, y:p2.y - c.y}
var m = (p4.y - p3.y) / (p4.x - p3.x); //slope of the line
var b = p3.y - m * p3.x; //y-intercept of line
var underRadical = Math.pow((Math.pow(r,2)*(Math.pow(m,2)+1)),2)-Math.pow(b,2)); //the value under the square root sign
if (underRadical < 0){
//line completely missed
return false;
} else {
var t1 = (-2*m*b+2*Math.sqrt(underRadical))/(2 * Math.pow(m,2) + 2); //one of the intercept x's
var t2 = (-2*m*b-2*Math.sqrt(underRadical))/(2 * Math.pow(m,2) + 2); //other intercept's x
var i1 = {x:t1,y:m*t1+b} //intercept point 1
var i2 = {x:t2,y:m*t2+b} //intercept point 2
return [i1,i2];
}
}
これがお役に立てば幸いです！
追伸誰かがエラーを見つけたり、提案がある場合は、コメントしてください。私は非常に新しく、すべての助け/提案を歓迎します。
奇妙なことに答えることはできますが、コメントはできません...円の中心がOriginに落ちるようにすべてをシフトするMultitaskproのアプローチが好きでした。残念ながら、彼のコードには2つの問題があります。まず、平方根の下の部分で、二重のべき乗を削除する必要があります。そうではない：
var underRadical = Math.pow((Math.pow(r,2)*(Math.pow(m,2)+1)),2)-Math.pow(b,2));
しかし：
var underRadical = Math.pow(r,2)*(Math.pow(m,2)+1)) - Math.pow(b,2);
最終的な座標では、彼はソリューションを戻すことを忘れています。そうではない：
var i1 = {x:t1,y:m*t1+b}
しかし：
var i1 = {x:t1+c.x, y:m*t1+b+c.y};
関数全体は次のようになります。
function interceptOnCircle(p1, p2, c, r) {
//p1 is the first line point
//p2 is the second line point
//c is the circle's center
//r is the circle's radius
var p3 = {x:p1.x - c.x, y:p1.y - c.y}; //shifted line points
var p4 = {x:p2.x - c.x, y:p2.y - c.y};
var m = (p4.y - p3.y) / (p4.x - p3.x); //slope of the line
var b = p3.y - m * p3.x; //y-intercept of line
var underRadical = Math.pow(r,2)*Math.pow(m,2) + Math.pow(r,2) - Math.pow(b,2); //the value under the square root sign
if (underRadical < 0) {
//line completely missed
return false;
} else {
var t1 = (-m*b + Math.sqrt(underRadical))/(Math.pow(m,2) + 1); //one of the intercept x's
var t2 = (-m*b - Math.sqrt(underRadical))/(Math.pow(m,2) + 1); //other intercept's x
var i1 = {x:t1+c.x, y:m*t1+b+c.y}; //intercept point 1
var i2 = {x:t2+c.x, y:m*t2+b+c.y}; //intercept point 2
return [i1, i2];
}
}
ベクトルACをベクトルABに射影すると、円の中心に最も近い無限線上の点を見つけることができます。その点と円の中心の間の距離を計算します。 Rより大きい場合、交差点はありません。距離がRに等しい場合、ラインは円の接線であり、円の中心に最も近い点は実際には交差点です。距離がRより小さい場合、2つの交点があります。それらは、円の中心に最も近い点から同じ距離にあります。その距離は、ピタゴラスの定理を使用して簡単に計算できます。擬似コードのアルゴリズムは次のとおりです。
{
dX = bX - aX;
dY = bY - aY;
if ((dX == 0) && (dY == 0))
{
// A and B are the same points, no way to calculate intersection
return;
}
dl = (dX * dX + dY * dY);
t = ((cX - aX) * dX + (cY - aY) * dY) / dl;
// point on a line nearest to circle center
nearestX = aX + t * dX;
nearestY = aY + t * dY;
dist = point_dist(nearestX, nearestY, cX, cY);
if (dist == R)
{
// line segment touches circle; one intersection point
iX = nearestX;
iY = nearestY;
if (t < 0 || t > 1)
{
// intersection point is not actually within line segment
}
}
else if (dist < R)
{
// two possible intersection points
dt = sqrt(R * R - dist * dist) / sqrt(dl);
// intersection point nearest to A
t1 = t - dt;
i1X = aX + t1 * dX;
i1Y = aY + t1 * dY;
if (t1 < 0 || t1 > 1)
{
// intersection point is not actually within line segment
}
// intersection point farthest from A
t2 = t + dt;
i2X = aX + t2 * dX;
i2Y = aY + t2 * dY;
if (t2 < 0 || t2 > 1)
{
// intersection point is not actually within line segment
}
}
else
{
// no intersection
}
}
編集：見つかった交差点が実際に線分内にあるかどうかを確認するコードを追加しました。
この投稿では、円の中心から線分までの法線N（画像2）の交点を表す線分（Ipoint）上の円の中心と点の間の距離をチェックすることで、円線の衝突をチェックします。
（ https://i.stack.imgur.com/3o6do.png ）
画像1には、1つの円と1つの線が示されています。ベクトルAポイントからライン開始ポイント、ベクトルBポイントからライン終了ポイント、ベクトルCポイントから円中心です。ここで、ベクトルE（線の始点から円の中心まで）とベクトルD（線の始点から線の終点まで）を見つける必要があります。この計算は画像1に示されています。
（ https://i.stack.imgur.com/7098a.png ）
画像2では、ベクトルEがベクトルEと単位ベクトルDの「ドット積」によってベクトルDに射影されていることがわかります。ドット積の結果は、ライン開始点と交差点（Ipoint）の距離を表すスカラーXpですベクトルNとベクトルD。次のベクトルXは、単位ベクトルDとスカラーXpを乗算することで求められます。
次に、ベクトルZ（Ipointへのベクトル）を見つける必要があります。ベクトルA（ライン上の開始点）とベクトルXの単純なベクトル加算です。次に、チェックする必要がある特殊なケースに対処する必要があります。その左または右を調べる必要はありません。最も近いベクトルを使用して、どの点が円に最も近いかを判断します。
（ https://i.stack.imgur.com/p9WIr.png ）
投影Xpが負の場合、Ipointはラインセグメントの左にあり、ベクトル最近接はライン開始点のベクトルに等しく、投影XpがベクトルDの大きさより大きい場合、Ipointはラインセグメントの右にあり、最も近いベクトルはライン終了のベクトルに等しいそれ以外の場合のポイントは、最も近いベクトルがベクトルZと等しくなります。
ここで、最も近いベクトルがある場合、円の中心からIpointへのベクトル（distベクトル）を見つける必要があります。その単純な方法は、中心ベクトルから最も近いベクトルを減算するだけです。次に、ベクトルdistの大きさが円の半径よりも小さいかどうかを確認します。円の半径が衝突している場合は、衝突していない場合は確認します。
（ https://i.stack.imgur.com/QJ63q.png ）
最後に、衝突を解決するためにいくつかの値を返すことができます。最も簡単な方法は、衝突の重なり（ベクトルdistの大きさから半径を引く）を返し、衝突の軸であるベクトルDを返すことです。また、必要に応じて交差点はベクトルZです。
Javascriptでの実装を次に示します。私のアプローチは、最初に線分を無限の線に変換し、次に交差点を見つけることです。そこから、見つかったポイントが線分上にあるかどうかを確認します。コードは十分に文書化されているので、従うことができるはずです。
こちらでコードを試すことができます live demo 。コードは algorithms repo から取得しました。
// Small epsilon value
var EPS = 0.0000001;
// point (x, y)
function Point(x, y) {
this.x = x;
this.y = y;
}
// Circle with center at (x,y) and radius r
function Circle(x, y, r) {
this.x = x;
this.y = y;
this.r = r;
}
// A line segment (x1, y1), (x2, y2)
function LineSegment(x1, y1, x2, y2) {
var d = Math.sqrt( (x1-x2)*(x1-x2) + (y1-y2)*(y1-y2) );
if (d < EPS) throw 'A point is not a line segment';
this.x1 = x1; this.y1 = y1;
this.x2 = x2; this.y2 = y2;
}
// An infinite line defined as: ax + by = c
function Line(a, b, c) {
this.a = a; this.b = b; this.c = c;
// Normalize line for good measure
if (Math.abs(b) < EPS) {
c /= a; a = 1; b = 0;
} else {
a = (Math.abs(a) < EPS) ? 0 : a / b;
c /= b; b = 1;
}
}
// Given a line in standard form: ax + by = c and a circle with
// a center at (x,y) with radius r this method finds the intersection
// of the line and the circle (if any).
function circleLineIntersection(circle, line) {
var a = line.a, b = line.b, c = line.c;
var x = circle.x, y = circle.y, r = circle.r;
// Solve for the variable x with the formulas: ax + by = c (equation of line)
// and (x-X)^2 + (y-Y)^2 = r^2 (equation of circle where X,Y are known) and expand to obtain quadratic:
// (a^2 + b^2)x^2 + (2abY - 2ac + - 2b^2X)x + (b^2X^2 + b^2Y^2 - 2bcY + c^2 - b^2r^2) = 0
// Then use quadratic formula X = (-b +- sqrt(a^2 - 4ac))/2a to find the
// roots of the equation (if they exist) and this will tell us the intersection points
// In general a quadratic is written as: Ax^2 + Bx + C = 0
// (a^2 + b^2)x^2 + (2abY - 2ac + - 2b^2X)x + (b^2X^2 + b^2Y^2 - 2bcY + c^2 - b^2r^2) = 0
var A = a*a + b*b;
var B = 2*a*b*y - 2*a*c - 2*b*b*x;
var C = b*b*x*x + b*b*y*y - 2*b*c*y + c*c - b*b*r*r;
// Use quadratic formula x = (-b +- sqrt(a^2 - 4ac))/2a to find the
// roots of the equation (if they exist).
var D = B*B - 4*A*C;
var x1,y1,x2,y2;
// Handle vertical line case with b = 0
if (Math.abs(b) < EPS) {
// Line equation is ax + by = c, but b = 0, so x = c/a
x1 = c/a;
// No intersection
if (Math.abs(x-x1) > r) return [];
// Vertical line is tangent to circle
if (Math.abs((x1-r)-x) < EPS || Math.abs((x1+r)-x) < EPS)
return [new Point(x1, y)];
var dx = Math.abs(x1 - x);
var dy = Math.sqrt(r*r-dx*dx);
// Vertical line cuts through circle
return [
new Point(x1,y+dy),
new Point(x1,y-dy)
];
// Line is tangent to circle
} else if (Math.abs(D) < EPS) {
x1 = -B/(2*A);
y1 = (c - a*x1)/b;
return [new Point(x1,y1)];
// No intersection
} else if (D < 0) {
return [];
} else {
D = Math.sqrt(D);
x1 = (-B+D)/(2*A);
y1 = (c - a*x1)/b;
x2 = (-B-D)/(2*A);
y2 = (c - a*x2)/b;
return [
new Point(x1, y1),
new Point(x2, y2)
];
}
}
// Converts a line segment to a line in general form
function segmentToGeneralForm(x1,y1,x2,y2) {
var a = y1 - y2;
var b = x2 - x1;
var c = x2*y1 - x1*y2;
return new Line(a,b,c);
}
// Checks if a point 'pt' is inside the rect defined by (x1,y1), (x2,y2)
function pointInRectangle(pt,x1,y1,x2,y2) {
var x = Math.min(x1,x2), X = Math.max(x1,x2);
var y = Math.min(y1,y2), Y = Math.max(y1,y2);
return x - EPS <= pt.x && pt.x <= X + EPS &&
y - EPS <= pt.y && pt.y <= Y + EPS;
}
// Finds the intersection(s) of a line segment and a circle
function lineSegmentCircleIntersection(segment, circle) {
var x1 = segment.x1, y1 = segment.y1, x2 = segment.x2, y2 = segment.y2;
var line = segmentToGeneralForm(x1,y1,x2,y2);
var pts = circleLineIntersection(circle, line);
// No intersection
if (pts.length === 0) return [];
var pt1 = pts[0];
var includePt1 = pointInRectangle(pt1,x1,y1,x2,y2);
// Check for unique intersection
if (pts.length === 1) {
if (includePt1) return [pt1];
return [];
}
var pt2 = pts[1];
var includePt2 = pointInRectangle(pt2,x1,y1,x2,y2);
// Check for remaining intersections
if (includePt1 && includePt2) return [pt1, pt2];
if (includePt1) return [pt1];
if (includePt2) return [pt2];
return [];
}
球体の中心（円ではなく球体だと3Dであるため）と線の間の距離を見つけたら、その距離がトリックを行う半径よりも小さいかどうかを確認します。
衝突点は、明らかに線と球体の間の最も近い点です（球体と線の間の距離を計算するときに計算されます）
点と線の間の距離：
http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html
ここにいくつかの数学が必要です：
A =（Xa、Ya）、B =（Xb、Yb）、C =（Xc、Yc）と仮定します。 AからBまでの線上の点には、座標（alpha * Xa +（1-alpha）Xb、alpha Ya +（1-alpha）* Yb）= Pがあります。
点Pの距離がRからCの場合、点Pは円上になければなりません。あなたが望むのは解決することです
distance(P, C) = R
あれは
(alpha*Xa + (1-alpha)*Xb)^2 + (alpha*Ya + (1-alpha)*Yb)^2 = R^2
alpha^2*Xa^2 + alpha^2*Xb^2 - 2*alpha*Xb^2 + Xb^2 + alpha^2*Ya^2 + alpha^2*Yb^2 - 2*alpha*Yb^2 + Yb^2=R^2
(Xa^2 + Xb^2 + Ya^2 + Yb^2)*alpha^2 - 2*(Xb^2 + Yb^2)*alpha + (Xb^2 + Yb^2 - R^2) = 0
この方程式にABC式を適用してアルファを解き、アルファの解を使用してPの座標を計算すると、交点があればそれを取得します。
このスレッドへの単なる追加...以下はpahlevanによって投稿されたコードのバージョンですが、C＃/ XNA用であり、少し整理されています。
/// <summary>
/// Intersects a line and a circle.
/// </summary>
/// <param name="location">the location of the circle</param>
/// <param name="radius">the radius of the circle</param>
/// <param name="lineFrom">the starting point of the line</param>
/// <param name="lineTo">the ending point of the line</param>
/// <returns>true if the line and circle intersect each other</returns>
public static bool IntersectLineCircle(Vector2 location, float radius, Vector2 lineFrom, Vector2 lineTo)
{
float ab2, acab, h2;
Vector2 ac = location - lineFrom;
Vector2 ab = lineTo - lineFrom;
Vector2.Dot(ref ab, ref ab, out ab2);
Vector2.Dot(ref ac, ref ab, out acab);
float t = acab / ab2;
if (t < 0)
t = 0;
else if (t > 1)
t = 1;
Vector2 h = ((ab * t) + lineFrom) - location;
Vector2.Dot(ref h, ref h, out h2);
return (h2 <= (radius * radius));
}
ラインの座標がA.x、A.yおよびB.x、B.yであり、円の中心がC.x、C.yである場合、ラインの式は次のとおりです。
x = A.x * t + B.x *（1-t）
y = A.y * t + B.y *（1-t）
ここで、0 <= t <= 1
そして円は
（C.x-x）^ 2 +（C.y-y）^ 2 = R ^ 2
線のxとyの式を円の式に代入すると、tの2次方程式が得られ、その解は交点（存在する場合）です。 0より小さいまたは1より大きいtを取得した場合、それは解ではありませんが、線が円の方向を「指している」ことを示します。
' VB.NET - Code
Function CheckLineSegmentCircleIntersection(x1 As Double, y1 As Double, x2 As Double, y2 As Double, xc As Double, yc As Double, r As Double) As Boolean
Static xd As Double = 0.0F
Static yd As Double = 0.0F
Static t As Double = 0.0F
Static d As Double = 0.0F
Static dx_2_1 As Double = 0.0F
Static dy_2_1 As Double = 0.0F
dx_2_1 = x2 - x1
dy_2_1 = y2 - y1
t = ((yc - y1) * dy_2_1 + (xc - x1) * dx_2_1) / (dy_2_1 * dy_2_1 + dx_2_1 * dx_2_1)
If 0 <= t And t <= 1 Then
xd = x1 + t * dx_2_1
yd = y1 + t * dy_2_1
d = Math.Sqrt((xd - xc) * (xd - xc) + (yd - yc) * (yd - yc))
Return d <= r
Else
d = Math.Sqrt((xc - x1) * (xc - x1) + (yc - y1) * (yc - y1))
If d <= r Then
Return True
Else
d = Math.Sqrt((xc - x2) * (xc - x2) + (yc - y2) * (yc - y2))
If d <= r Then
Return True
Else
Return False
End If
End If
End If
End Function
chmikeの回答に従って、iOS用にこの関数を作成しました
+ (NSArray *)intersectionPointsOfCircleWithCenter:(CGPoint)center withRadius:(float)radius toLinePoint1:(CGPoint)p1 andLinePoint2:(CGPoint)p2
{
NSMutableArray *intersectionPoints = [NSMutableArray array];
float Ax = p1.x;
float Ay = p1.y;
float Bx = p2.x;
float By = p2.y;
float Cx = center.x;
float Cy = center.y;
float R = radius;
// compute the euclidean distance between A and B
float LAB = sqrt( pow(Bx-Ax, 2)+pow(By-Ay, 2) );
// compute the direction vector D from A to B
float Dx = (Bx-Ax)/LAB;
float Dy = (By-Ay)/LAB;
// Now the line equation is x = Dx*t + Ax, y = Dy*t + Ay with 0 <= t <= 1.
// compute the value t of the closest point to the circle center (Cx, Cy)
float t = Dx*(Cx-Ax) + Dy*(Cy-Ay);
// This is the projection of C on the line from A to B.
// compute the coordinates of the point E on line and closest to C
float Ex = t*Dx+Ax;
float Ey = t*Dy+Ay;
// compute the euclidean distance from E to C
float LEC = sqrt( pow(Ex-Cx, 2)+ pow(Ey-Cy, 2) );
// test if the line intersects the circle
if( LEC < R )
{
// compute distance from t to circle intersection point
float dt = sqrt( pow(R, 2) - pow(LEC,2) );
// compute first intersection point
float Fx = (t-dt)*Dx + Ax;
float Fy = (t-dt)*Dy + Ay;
// compute second intersection point
float Gx = (t+dt)*Dx + Ax;
float Gy = (t+dt)*Dy + Ay;
[intersectionPoints addObject:[NSValue valueWithCGPoint:CGPointMake(Fx, Fy)]];
[intersectionPoints addObject:[NSValue valueWithCGPoint:CGPointMake(Gx, Gy)]];
}
// else test if the line is tangent to circle
else if( LEC == R ) {
// tangent point to circle is E
[intersectionPoints addObject:[NSValue valueWithCGPoint:CGPointMake(Ex, Ey)]];
}
else {
// line doesn't touch circle
}
return intersectionPoints;
}
C＃の別の1つ（部分円クラス）。テストされ、魅力のように動作します。
public class Circle : IEquatable<Circle>
{
// ******************************************************************
// The center of a circle
private Point _center;
// The radius of a circle
private double _radius;
// ******************************************************************
/// <summary>
/// Find all intersections (0, 1, 2) of the circle with a line defined by its 2 points.
/// Using: http://math.stackexchange.com/questions/228841/how-do-i-calculate-the-intersections-of-a-straight-line-and-a-circle
/// Note: p is the Center.X and q is Center.Y
/// </summary>
/// <param name="linePoint1"></param>
/// <param name="linePoint2"></param>
/// <returns></returns>
public List<Point> GetIntersections(Point linePoint1, Point linePoint2)
{
List<Point> intersections = new List<Point>();
double dx = linePoint2.X - linePoint1.X;
if (dx.AboutEquals(0)) // Straight vertical line
{
if (linePoint1.X.AboutEquals(Center.X - Radius) || linePoint1.X.AboutEquals(Center.X + Radius))
{
Point pt = new Point(linePoint1.X, Center.Y);
intersections.Add(pt);
}
else if (linePoint1.X > Center.X - Radius && linePoint1.X < Center.X + Radius)
{
double x = linePoint1.X - Center.X;
Point pt = new Point(linePoint1.X, Center.Y + Math.Sqrt(Radius * Radius - (x * x)));
intersections.Add(pt);
pt = new Point(linePoint1.X, Center.Y - Math.Sqrt(Radius * Radius - (x * x)));
intersections.Add(pt);
}
return intersections;
}
// Line function (y = mx + b)
double dy = linePoint2.Y - linePoint1.Y;
double m = dy / dx;
double b = linePoint1.Y - m * linePoint1.X;
double A = m * m + 1;
double B = 2 * (m * b - m * _center.Y - Center.X);
double C = Center.X * Center.X + Center.Y * Center.Y - Radius * Radius - 2 * b * Center.Y + b * b;
double discriminant = B * B - 4 * A * C;
if (discriminant < 0)
{
return intersections; // there is no intersections
}
if (discriminant.AboutEquals(0)) // Tangeante (touch on 1 point only)
{
double x = -B / (2 * A);
double y = m * x + b;
intersections.Add(new Point(x, y));
}
else // Secant (touch on 2 points)
{
double x = (-B + Math.Sqrt(discriminant)) / (2 * A);
double y = m * x + b;
intersections.Add(new Point(x, y));
x = (-B - Math.Sqrt(discriminant)) / (2 * A);
y = m * x + b;
intersections.Add(new Point(x, y));
}
return intersections;
}
// ******************************************************************
// Get the center
[XmlElement("Center")]
public Point Center
{
get { return _center; }
set
{
_center = value;
}
}
// ******************************************************************
// Get the radius
[XmlElement]
public double Radius
{
get { return _radius; }
set { _radius = value; }
}
//// ******************************************************************
//[XmlArrayItemAttribute("DoublePoint")]
//public List<Point> Coordinates
//{
// get { return _coordinates; }
//}
// ******************************************************************
// Construct a circle without any specification
public Circle()
{
_center.X = 0;
_center.Y = 0;
_radius = 0;
}
// ******************************************************************
// Construct a circle without any specification
public Circle(double radius)
{
_center.X = 0;
_center.Y = 0;
_radius = radius;
}
// ******************************************************************
// Construct a circle with the specified circle
public Circle(Circle circle)
{
_center = circle._center;
_radius = circle._radius;
}
// ******************************************************************
// Construct a circle with the specified center and radius
public Circle(Point center, double radius)
{
_center = center;
_radius = radius;
}
// ******************************************************************
// Construct a circle based on one point
public Circle(Point center)
{
_center = center;
_radius = 0;
}
// ******************************************************************
// Construct a circle based on two points
public Circle(Point p1, Point p2)
{
Circle2Points(p1, p2);
}
必須：
using System;
namespace Mathematic
{
public static class DoubleExtension
{
// ******************************************************************
// Base on Hans Passant Answer on:
// http://stackoverflow.com/questions/2411392/double-epsilon-for-equality-greater-than-less-than-less-than-or-equal-to-gre
/// <summary>
/// Compare two double taking in account the double precision potential error.
/// Take care: truncation errors accumulate on calculation. More you do, more you should increase the epsilon.
public static bool AboutEquals(this double value1, double value2)
{
if (double.IsPositiveInfinity(value1))
return double.IsPositiveInfinity(value2);
if (double.IsNegativeInfinity(value1))
return double.IsNegativeInfinity(value2);
if (double.IsNaN(value1))
return double.IsNaN(value2);
double epsilon = Math.Max(Math.Abs(value1), Math.Abs(value2)) * 1E-15;
return Math.Abs(value1 - value2) <= epsilon;
}
// ******************************************************************
// Base on Hans Passant Answer on:
// http://stackoverflow.com/questions/2411392/double-epsilon-for-equality-greater-than-less-than-less-than-or-equal-to-gre
/// <summary>
/// Compare two double taking in account the double precision potential error.
/// Take care: truncation errors accumulate on calculation. More you do, more you should increase the epsilon.
/// You get really better performance when you can determine the contextual epsilon first.
/// </summary>
/// <param name="value1"></param>
/// <param name="value2"></param>
/// <param name="precalculatedContextualEpsilon"></param>
/// <returns></returns>
public static bool AboutEquals(this double value1, double value2, double precalculatedContextualEpsilon)
{
if (double.IsPositiveInfinity(value1))
return double.IsPositiveInfinity(value2);
if (double.IsNegativeInfinity(value1))
return double.IsNegativeInfinity(value2);
if (double.IsNaN(value1))
return double.IsNaN(value2);
return Math.Abs(value1 - value2) <= precalculatedContextualEpsilon;
}
// ******************************************************************
public static double GetContextualEpsilon(this double biggestPossibleContextualValue)
{
return biggestPossibleContextualValue * 1E-15;
}
// ******************************************************************
/// <summary>
/// Mathlab equivalent
/// </summary>
/// <param name="dividend"></param>
/// <param name="divisor"></param>
/// <returns></returns>
public static double Mod(this double dividend, double divisor)
{
return dividend - System.Math.Floor(dividend / divisor) * divisor;
}
// ******************************************************************
}
}
JavaScriptでの適切なソリューションを次に示します（必要なすべての数学とライブイラストを使用） https://bl.ocks.org/milkbread/11000965
ただし、そのソリューションのis_on関数には変更が必要です。
function is_on(a, b, c) {
return Math.abs(distance(a,c) + distance(c,b) - distance(a,b))<0.000001;
}これは、@ Mizipzorが提案した考え方（投影法を使用）に従って、TypeScriptでの私のソリューションです。
/**
* Determines whether a line segment defined by a start and end point intersects with a sphere defined by a center point and a radius
* @param a the start point of the line segment
* @param b the end point of the line segment
* @param c the center point of the sphere
* @param r the radius of the sphere
*/
export function lineSphereIntersects(
a: IPoint,
b: IPoint,
c: IPoint,
r: number
): boolean {
// find the three sides of the triangle formed by the three points
const ab: number = distance(a, b);
const ac: number = distance(a, c);
const bc: number = distance(b, c);
// check to see if either ends of the line segment are inside of the sphere
if (ac < r || bc < r) {
return true;
}
// find the angle between the line segment and the center of the sphere
const numerator: number = Math.pow(ac, 2) + Math.pow(ab, 2) - Math.pow(bc, 2);
const denominator: number = 2 * ac * ab;
const cab: number = Math.acos(numerator / denominator);
// find the distance from the center of the sphere and the line segment
const cd: number = Math.sin(cab) * ac;
// if the radius is at least as long as the distance between the center and the line
if (r >= cd) {
// find the distance between the line start and the point on the line closest to
// the center of the sphere
const ad: number = Math.cos(cab) * ac;
// intersection occurs when the point on the line closest to the sphere center is
// no further away than the end of the line
return ad <= ab;
}
return false;
}
export function distance(a: IPoint, b: IPoint): number {
return Math.sqrt(
Math.pow(b.z - a.z, 2) + Math.pow(b.y - a.y, 2) + Math.pow(b.x - a.x, 2)
);
}
export interface IPoint {
x: number;
y: number;
z: number;
}
サークルは本当に悪い奴です:)良い方法は、できれば真のサークルを避けることです。ゲームの衝突チェックを行う場合は、いくつかの単純化を行って、3つのドットプロダクトといくつかの比較を行うことができます。
これを「ファットポイント」または「細い円」と呼びます。セグメントに平行な方向に半径ゼロの楕円のようなもの。しかし、セグメントに垂直な方向の完全な半径
まず、過剰なデータを避けるために座標系の名前を変更して切り替えることを検討します。
s0s1 = B-A;
s0qp = C-A;
rSqr = r*r;
次に、hvec2fのインデックスhは、ベクターがdot（）/ det（）のような水平操作を優先しなければならないことを意味します。つまり、シャッフル/ hadd'ing/hsub'ingを回避するために、コンポーネントは個別のxmmレジスタに配置されます。次に、2Dゲーム用の最も単純な衝突検出の最も高性能なバージョンを使用します。
bool fat_point_collides_segment(const hvec2f& s0qp, const hvec2f& s0s1, const float& rSqr) {
auto a = dot(s0s1, s0s1);
//if( a != 0 ) // if you haven't zero-length segments omit this, as it would save you 1 _mm_comineq_ss() instruction and 1 memory fetch
{
auto b = dot(s0s1, s0qp);
auto t = b / a; // length of projection of s0qp onto s0s1
//std::cout << "t = " << t << "\n";
if ((t >= 0) && (t <= 1)) //
{
auto c = dot(s0qp, s0qp);
auto r2 = c - a * t * t;
return (r2 <= rSqr); // true if collides
}
}
return false;
}
これ以上最適化できるとは思いません。私は、ニューラルネットワーク駆動のカーレース衝突検出に使用して、数百万の反復ステップを処理しています。
このJava関数はDVec2オブジェクトを返します。円の中心、円の半径、および線に対して DVec2 を取ります。
public static DVec2 CircLine(DVec2 C, double r, Line line)
{
DVec2 A = line.p1;
DVec2 B = line.p2;
DVec2 P;
DVec2 AC = new DVec2( C );
AC.sub(A);
DVec2 AB = new DVec2( B );
AB.sub(A);
double ab2 = AB.dot(AB);
double acab = AC.dot(AB);
double t = acab / ab2;
if (t < 0.0)
t = 0.0;
else if (t > 1.0)
t = 1.0;
//P = A + t * AB;
P = new DVec2( AB );
P.mul( t );
P.add( A );
DVec2 H = new DVec2( P );
H.sub( C );
double h2 = H.dot(H);
double r2 = r * r;
if(h2 > r2)
return null;
else
return P;
}
これがgolangで書かれたソリューションです。この方法は、ここに掲載されている他の回答と似ていますが、まったく同じではありません。実装は簡単で、テスト済みです。手順は次のとおりです。
- 円が原点になるように座標を変換します。
- X座標とy座標の両方について、tのパラメーター化された関数として線分を表現します。 tが0の場合、関数の値はセグメントの一方の端点になり、tが1の場合、関数の値はもう一方の端点になります。
- 可能な場合、原点からの距離が円の半径に等しいx、y座標を生成するtの値を制約することから生じる2次方程式を解きます。
- Tが<0または> 1（開いているセグメントの場合は<= 0または> = 1）であるソリューションをスローします。これらのポイントはセグメントに含まれていません。
- 元の座標に戻します。
二次方程式のA、B、およびCの値はここで導出されます。ここで、（n-et）および（m-dt）はそれぞれラインのxおよびy座標の方程式です。 rは円の半径です。
(n-et)(n-et) + (m-dt)(m-dt) = rr
nn - 2etn + etet + mm - 2mdt + dtdt = rr
(ee+dd)tt - 2(en + dm)t + nn + mm - rr = 0
したがって、A = ee + dd、B =-2（en + dm）、C = nn + mm-rrです。
関数のgolangコードは次のとおりです。
package geom
import (
"math"
)
// SegmentCircleIntersection return points of intersection between a circle and
// a line segment. The Boolean intersects returns true if one or
// more solutions exist. If only one solution exists,
// x1 == x2 and y1 == y2.
// s1x and s1y are coordinates for one end point of the segment, and
// s2x and s2y are coordinates for the other end of the segment.
// cx and cy are the coordinates of the center of the circle and
// r is the radius of the circle.
func SegmentCircleIntersection(s1x, s1y, s2x, s2y, cx, cy, r float64) (x1, y1, x2, y2 float64, intersects bool) {
// (n-et) and (m-dt) are expressions for the x and y coordinates
// of a parameterized line in coordinates whose Origin is the
// center of the circle.
// When t = 0, (n-et) == s1x - cx and (m-dt) == s1y - cy
// When t = 1, (n-et) == s2x - cx and (m-dt) == s2y - cy.
n := s2x - cx
m := s2y - cy
e := s2x - s1x
d := s2y - s1y
// lineFunc checks if the t parameter is in the segment and if so
// calculates the line point in the unshifted coordinates (adds back
// cx and cy.
lineFunc := func(t float64) (x, y float64, inBounds bool) {
inBounds = t >= 0 && t <= 1 // Check bounds on closed segment
// To check bounds for an open segment use t > 0 && t < 1
if inBounds { // Calc coords for point in segment
x = n - e*t + cx
y = m - d*t + cy
}
return
}
// Since we want the points on the line distance r from the Origin,
// (n-et)(n-et) + (m-dt)(m-dt) = rr.
// Expanding and collecting terms yeilds the following quadratic equation:
A, B, C := e*e+d*d, -2*(e*n+m*d), n*n+m*m-r*r
D := B*B - 4*A*C // discriminant of quadratic
if D < 0 {
return // No solution
}
D = math.Sqrt(D)
var p1In, p2In bool
x1, y1, p1In = lineFunc((-B + D) / (2 * A)) // First root
if D == 0.0 {
intersects = p1In
x2, y2 = x1, y1
return // Only possible solution, quadratic has one root.
}
x2, y2, p2In = lineFunc((-B - D) / (2 * A)) // Second root
intersects = p1In || p2In
if p1In == false { // Only x2, y2 may be valid solutions
x1, y1 = x2, y2
} else if p2In == false { // Only x1, y1 are valid solutions
x2, y2 = x1, y1
}
return
}
この関数を使用してテストし、解点が線分内および円上にあることを確認しました。テストセグメントを作成し、指定された円の周りをスイープします。
package geom_test
import (
"testing"
. "**put your package path here**"
)
func CheckEpsilon(t *testing.T, v, epsilon float64, message string) {
if v > epsilon || v < -epsilon {
t.Error(message, v, epsilon)
t.FailNow()
}
}
func TestSegmentCircleIntersection(t *testing.T) {
epsilon := 1e-10 // Something smallish
x1, y1 := 5.0, 2.0 // segment end point 1
x2, y2 := 50.0, 30.0 // segment end point 2
cx, cy := 100.0, 90.0 // center of circle
r := 80.0
segx, segy := x2-x1, y2-y1
testCntr, solutionCntr := 0, 0
for i := -100; i < 100; i++ {
for j := -100; j < 100; j++ {
testCntr++
s1x, s2x := x1+float64(i), x2+float64(i)
s1y, s2y := y1+float64(j), y2+float64(j)
sc1x, sc1y := s1x-cx, s1y-cy
seg1Inside := sc1x*sc1x+sc1y*sc1y < r*r
sc2x, sc2y := s2x-cx, s2y-cy
seg2Inside := sc2x*sc2x+sc2y*sc2y < r*r
p1x, p1y, p2x, p2y, intersects := SegmentCircleIntersection(s1x, s1y, s2x, s2y, cx, cy, r)
if intersects {
solutionCntr++
//Check if points are on circle
c1x, c1y := p1x-cx, p1y-cy
deltaLen1 := (c1x*c1x + c1y*c1y) - r*r
CheckEpsilon(t, deltaLen1, epsilon, "p1 not on circle")
c2x, c2y := p2x-cx, p2y-cy
deltaLen2 := (c2x*c2x + c2y*c2y) - r*r
CheckEpsilon(t, deltaLen2, epsilon, "p2 not on circle")
// Check if points are on the line through the line segment
// "cross product" of vector from a segment point to the point
// and the vector for the segment should be near zero
vp1x, vp1y := p1x-s1x, p1y-s1y
crossProd1 := vp1x*segy - vp1y*segx
CheckEpsilon(t, crossProd1, epsilon, "p1 not on line ")
vp2x, vp2y := p2x-s1x, p2y-s1y
crossProd2 := vp2x*segy - vp2y*segx
CheckEpsilon(t, crossProd2, epsilon, "p2 not on line ")
// Check if point is between points s1 and s2 on line
// This means the sign of the dot prod of the segment vector
// and point to segment end point vectors are opposite for
// either end.
wp1x, wp1y := p1x-s2x, p1y-s2y
dp1v := vp1x*segx + vp1y*segy
dp1w := wp1x*segx + wp1y*segy
if (dp1v < 0 && dp1w < 0) || (dp1v > 0 && dp1w > 0) {
t.Error("point not contained in segment ", dp1v, dp1w)
t.FailNow()
}
wp2x, wp2y := p2x-s2x, p2y-s2y
dp2v := vp2x*segx + vp2y*segy
dp2w := wp2x*segx + wp2y*segy
if (dp2v < 0 && dp2w < 0) || (dp2v > 0 && dp2w > 0) {
t.Error("point not contained in segment ", dp2v, dp2w)
t.FailNow()
}
if s1x == s2x && s2y == s1y { //Only one solution
// Test that one end of the segment is withing the radius of the circle
// and one is not
if seg1Inside && seg2Inside {
t.Error("Only one solution but both line segment ends inside")
t.FailNow()
}
if !seg1Inside && !seg2Inside {
t.Error("Only one solution but both line segment ends outside")
t.FailNow()
}
}
} else { // No intersection, check if both points outside or inside
if (seg1Inside && !seg2Inside) || (!seg1Inside && seg2Inside) {
t.Error("No solution but only one point in radius of circle")
t.FailNow()
}
}
}
}
t.Log("Tested ", testCntr, " examples and found ", solutionCntr, " solutions.")
}
テストの出力は次のとおりです。
=== RUN TestSegmentCircleIntersection
--- PASS: TestSegmentCircleIntersection (0.00s)
geom_test.go:105: Tested 40000 examples and found 7343 solutions.
最後に、この方法は、t> 0またはt <1であるが両方ではない場合にのみテストすることにより、ある点から始まり、他の点を通過して無限に広がる光線の場合に簡単に拡張できます。
それが必要だったので、このソリューションを思いつきました。言語はmaxscriptですが、他の言語に簡単に翻訳する必要があります。 sideA、sideB、およびCircleRadiusはスカラーであり、残りの変数は[x、y、z]としてのポイントです。平面XYで解くためにz = 0と仮定しています
fn projectPoint p1 p2 p3 = --project p1 perpendicular to the line p2-p3
(
local v= normalize (p3-p2)
local p= (p1-p2)
p2+((dot v p)*v)
)
fn findIntersectionLineCircle CircleCenter CircleRadius LineP1 LineP2=
(
pp=projectPoint CircleCenter LineP1 LineP2
sideA=distance pp CircleCenter
--use pythagoras to solve the third side
sideB=sqrt(CircleRadius^2-sideA^2) -- this will return NaN if they don't intersect
IntersectV=normalize (pp-CircleCenter)
perpV=[IntersectV.y,-IntersectV.x,IntersectV.z]
--project the point to both sides to find the solutions
solution1=pp+(sideB*perpV)
solution2=pp-(sideB*perpV)
return #(solution1,solution2)
)