これが演習です:
次のことを証明するか、反例を挙げてください。
(a)無向グラフの最小全域木における頂点のペア間のパスは、必然的に最短(最小重み)のパスですか?
(b)グラフの最小全域木が一意であると仮定します。無向グラフの最小全域木における頂点のペア間のパスは、必然的に最短(最小重み)のパスですか?
私の答えは
(a)
いいえ、たとえば、グラフ0、1、2、0-1が4、1-2が2、2-0が5の場合、0-2の真の最短経路は5ですが、mstは0-1-2です。 、mstでは、0-2は6です
(b)
私の問題はこれにあります(b)
どうしたらいいのかわからないwhether the MST is unique
最短パスに影響を与える可能性があります。
まず、私の理解では、エッジの重みが明確でない場合、複数のMSTが同時に存在する可能性があります。
第二に、MSTが一意であっても、上記の(a)の答えは(b)にも当てはまりますよね?
(a)については同意します。
(b)に関しては、一部のグラフでは、同じ重みを持つ最小全域木がより多く存在する場合があります。頂点a、b、cを持つ円C3を考えてみましょう。重みa-> b = 1、b-> c = 2、a-> c = 2。このグラフには、{a-b-c}と{c-a-b}の2つのMSTがあります。
それでも、MSTはそこで一意であるため、反例は依然として当てはまります。
それでは、非常に単純なグラフを見てみましょう。
(A)---2----(B)----2---(C)
\ /
---------3----------
このグラフの最小全域木は、2つのエッジA-B
とB-C
で構成されます。他のエッジのセットは、最小全域木を形成しません。
ただし、もちろん、A
からC
への最短パスはA-C
であり、MSTには存在しません。
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したがって、パート(b)に答えるには、MSTにない短いパスが存在するため、答えはノーです。
MSTは開始ノードに関連していませんか?!
次に、彼はMST開始ノードから最短パスを取得しようとしています。したがって、はい、最短パスはA
から始まるMSTによって与えられます。