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与えられた2つの整数AとBについて、A = X * YおよびB = X xor YとなるようなXとYのペアを見つけます。

私は、競合するプログラミングの本で見つけたこの問題に苦労していますが、それを行う方法の解決策がありません。

指定された2つの整数 あ そして B （64ビット整数型に適合）、ここで あ 奇数の場合、次のようなXとYのペアを見つけます。 あ = X * Yおよび B = X xorY。私のアプローチは、Aのすべての約数をリストし、sqrt（A）の下の数値と、sqrt（A）上の数値を掛け合わせて、 あ そして、それらのxorが等しいかどうかを確認します B。しかし、それで十分かどうかはわかりません。この問題の良い解決策/アルゴリズムは何でしょうか？

algorithmbit-manipulation
22
Aster W.

以下は、私たちが知っているルールを遵守する単純な再帰です。（1）奇数の被乗数のみが奇数の倍数を生成するため、XとYの両方の最下位ビットが設定されます。 （2）XをBの最上位ビットに設定する場合、Yはsqrt（A）より大きくすることはできません。 （3）Bの現在のビットに従ってXまたはYのビットを設定します。

次のPythonコードは、Matt Timmermansの サンプルコード から選択したランダムペアの1つを除いてすべて300回未満の反復をもたらしました。しかし、最初のコードは231,199回の反復を行いました。 ）

from math import sqrt

def f(A, B):
  i = 64
  while not ((1<<i) & B):
    i = i - 1
  X = 1 | (1 << i)

  sqrtA = int(sqrt(A))

  j = 64
  while not ((1<<j) & sqrtA):
    j = j - 1

  if (j > i):
    i = j + 1

  memo = {"it": 0, "stop": False, "solution": []}

  def g(b, x, y):
    memo["it"] = memo["it"] + 1
    if memo["stop"]:
      return []

    if y > sqrtA or y * x > A:
      return []

    if b == 0:
      if x * y == A:
        memo["solution"].append((x, y))
        memo["stop"] = True
        return [(x, y)]
      else:
        return []

    bit = 1 << b

    if B & bit:
      return g(b - 1, x, y | bit) + g(b - 1, x | bit, y)
    else:
      return g(b - 1, x | bit, y | bit) + g(b - 1, x, y)

  g(i - 1, X, 1)
  return memo

vals = [
  (6872997084689100999, 2637233646), # 1048 checks with Matt's code
  (3461781732514363153, 262193934464), # 8756 checks with Matt's code
  (931590259044275343, 5343859294), # 4628 checks with Matt's code
  (2390503072583010999, 22219728382), # 5188 checks with Matt's code
  (412975927819062465, 9399702487040), # 8324 checks with Matt's code
  (9105477787064988985, 211755297373604352), # 3204 checks with Matt's code
  (4978113409908739575,67966612030), # 5232 checks with Matt's code
  (6175356111962773143,1264664368613886), # 3756 checks with Matt's code
  (648518352783802375, 6) # B smaller than sqrt(A)
]

for A, B in vals:
  memo = f(A, B)
  [(x, y)] = memo["solution"]
  print "x, y: %s, %s" % (x, y)
  print "A:   %s" % A
  print "x*y: %s" % (x * y)
  print "B:   %s" % B
  print "x^y: %s" % (x ^ y)
  print "%s iterations" % memo["it"]
  print ""

出力：

x, y: 4251585939, 1616572541
A:   6872997084689100999
x*y: 6872997084689100999
B:   2637233646
x^y: 2637233646
231199 iterations

x, y: 262180735447, 13203799
A:   3461781732514363153
x*y: 3461781732514363153
B:   262193934464
x^y: 262193934464
73 iterations

x, y: 5171068311, 180154313
A:   931590259044275343
x*y: 931590259044275343
B:   5343859294
x^y: 5343859294
257 iterations

x, y: 22180179939, 107776541
A:   2390503072583010999
x*y: 2390503072583010999
B:   22219728382
x^y: 22219728382
67 iterations

x, y: 9399702465439, 43935
A:   412975927819062465
x*y: 412975927819062465
B:   9399702487040
x^y: 9399702487040
85 iterations

x, y: 211755297373604395, 43
A:   9105477787064988985
x*y: 9105477787064988985
B:   211755297373604352
x^y: 211755297373604352
113 iterations

x, y: 68039759325, 73164771
A:   4978113409908739575
x*y: 4978113409908739575
B:   67966612030
x^y: 67966612030
69 iterations

x, y: 1264664368618221, 4883
A:   6175356111962773143
x*y: 6175356111962773143
B:   1264664368613886
x^y: 1264664368613886
99 iterations

x, y: 805306375, 805306369
A:   648518352783802375
x*y: 648518352783802375
B:   6
x^y: 6
59 iterations
5
גלעד ברקן

少なくとも1つの因子がsqrt（A）以下であることを知っています。それを1つのXにします。

Xのビット長は、Aの長さの約半分になります。

したがって、Xの上位ビット（値がsqrt（A）よりも高いビット）はすべて0であり、Bの対応するビットはYの対応するビットと同じ値でなければなりません。

Yの上位ビットを知ると、対応する係数X = A/Yの範囲がかなり小さくなります。 Yの可能な最大値と最小値にそれぞれ対応するXminとXmaxを計算します。 Xmaxもsqrt（A）以下でなければならないことに注意してください。

次に、XminとXmaxの間のすべての可能なXを試します。あまり多くないので、それほど長くはかかりません。

9
Matt Timmermans

この問題を解決するもう1つの簡単な方法は、XYおよびX xor Yの下位nビットが下位nXおよびYのビット。したがって、より低いnビットは、完了するまで、下位n + 1ビットの可能な回答を制限します。

残念ながら、1つのnには複数の可能性があることがわかっています。 ロットの可能性がどのくらいの頻度であるかはわかりませんが、おそらくそれほど頻繁ではないので、これは競争の状況。 nビットの解はの0または2つの解を提供するため、確率論的には、いくつかの可能性しかありません。 ）n + 1ビット、等確率。

ランダム入力ではかなりうまくいくようです。テストに使用したコードは次のとおりです。

public static void solve(long A, long B)
{
    List<Long> sols = new ArrayList<>();
    List<Long> prevSols = new ArrayList<>();
    sols.add(0L);
    long tests=0;
    System.out.print("Solving "+A+","+B+"... ");
    for (long bit=1; (A/bit)>=bit; bit<<=1)
    {
        tests += sols.size();
        {
            List<Long> t = prevSols;
            prevSols = sols;
            sols = t;
        }
        final long mask = bit|(bit-1);
        sols.clear();
        for (long prevx : prevSols)
        {
            long prevy = (prevx^B) & mask;
            if ((((prevx*prevy)^A)&mask) == 0)
            {
                sols.add(prevx);
            }
            long x = prevx | bit;
            long y = (x^B)&mask;
            if ((((x*y)^A)&mask) == 0)
            {
                sols.add(x);
            }
        }
    }
    tests += sols.size();
    {
        List<Long> t = prevSols;
        prevSols = sols;
        sols = t;
    }
    sols.clear();
    for (long testx: prevSols)
    {
        if (A/testx >= testx)
        {
            long testy = B^testx;
            if (testx * testy == A)
            {
                sols.add(testx);
            }
        }
    }

    System.out.println("" + tests + " checks -> X=" + sols);
}
public static void main(String[] args)
{
    Random Rand = new Random();
    for (int range=Integer.MAX_VALUE; range > 32; range -= (range>>5))
    {
        long A = Rand.nextLong() & Long.MAX_VALUE;
        long X = (Rand.nextInt(range)) + 2L;
        X|=1;
        long Y = A/X;
        if (Y==0)
        {
            Y = Rand.nextInt(65536);
        }
        Y|=1;
        solve(X*Y, X^Y);
    }
}

ここで結果を見ることができます： https://ideone.com/cEuHkQ

通常は数千回のチェックで済むようです。

6
Matt Timmermans