OK、最初にO（N ^ 2）である最も簡単なソリューションを説明します。ここで、Nはコレクションのサイズです。 O（N log N）ソリューションも存在します。これについても説明します。セクション「効率的なアルゴリズム」で こちら を見てください。
配列のインデックスは0〜N-1であると想定します。したがって、DP[i]を、インデックスiを持つ要素で終わるLIS（最長増加サブシーケンス）の長さに定義します。 DP[i]を計算するには、すべてのインデックスj < iを見て、DP[j] + 1 > DP[i]とarray[j] < array[i]の両方を確認します（増加させたい）。これが当てはまる場合、DP[i]の現在の最適値を更新できます。配列に最適なグローバルを見つけるには、DP[0...N - 1]から最大値を取得できます。
int maxLength = 1, bestEnd = 0;
DP[0] = 1;
prev[0] = -1;
for (int i = 1; i < N; i++)
{
DP[i] = 1;
prev[i] = -1;
for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
if (DP[j] + 1 > DP[i] && array[j] < array[i])
{
DP[i] = DP[j] + 1;
prev[i] = j;
}
if (DP[i] > maxLength)
{
bestEnd = i;
maxLength = DP[i];
}
}
配列prevを使用して、後でその長さだけでなく実際のシーケンスを見つけることができます。 prev[bestEnd]を使用して、ループ内のbestEndから再帰的に戻るだけです。 -1値は、停止するサインです。
では、より効率的なO(N log N)ソリューションに進みましょう。
S[pos]を、長さposの増加シーケンスを終了する最小の整数として定義します。次に、入力セットのすべての整数Xを反復処理し、次の操作を実行します。
X>Sの最後の要素の場合、Xの最後にSを追加します。これは本質的に、新しい最大のLISを見つけたことを意味します。それ以外の場合は、
Sの最小要素（Xよりも>=）を見つけて、Xに変更します。Sはいつでもソートされるため、要素はlog(N)のバイナリ検索を使用して見つけることができます。
合計ランタイム-N整数とそれぞれのバイナリ検索-N * log（N）= O（N log N）
それでは、実際の例を見てみましょう。
整数のコレクション：2 6 3 4 1 2 9 5 8
手順：
0. S = {} - Initialize S to the empty set
1. S = {2} - New largest LIS
2. S = {2, 6} - New largest LIS
3. S = {2, 3} - Changed 6 to 3
4. S = {2, 3, 4} - New largest LIS
5. S = {1, 3, 4} - Changed 2 to 1
6. S = {1, 2, 4} - Changed 3 to 2
7. S = {1, 2, 4, 9} - New largest LIS
8. S = {1, 2, 4, 5} - Changed 9 to 5
9. S = {1, 2, 4, 5, 8} - New largest LIS
したがって、LISの長さは5（Sのサイズ）です。
実際のLISを再構築するには、再び親配列を使用します。 parent[i]を、インデックスiの要素で終わるLISのインデックスiの要素の先行とします。
物事を簡単にするために、実際の整数ではなく、セット内のインデックス（位置）を配列Sに保持できます。 {1, 2, 4, 5, 8}は保持しませんが、{4, 5, 3, 7, 8}は保持します。
つまり、input [4] =1、input [5] =2、input [3] =4、input [7] =5、input [8] =8。
親配列を適切に更新すると、実際のLISは次のようになります。
input[S[lastElementOfS]],
input[parent[S[lastElementOfS]]],
input[parent[parent[S[lastElementOfS]]]],
........................................
ここで重要なこと-親配列をどのように更新しますか？次の2つのオプションがあります。
X>Sの最後の要素の場合、parent[indexX] = indexLastElement。これは、最新の要素の親が最後の要素であることを意味します。Xの最後にSを追加します。それ以外の場合は、
Sの最小要素のインデックス（Xよりも>=）を見つけて、Xに変更します。ここでparent[indexX] = S[index - 1]。
Petar Minchevの説明は私にとってわかりやすいものでしたが、すべてが何であるかを解析するのは困難だったので、過度に説明的な変数名と多くのコメントを使用してPython実装を行いました。私は、単純な再帰解、O（n ^ 2）解、およびO（n log n）解を行いました。
アルゴリズムを整理するのに役立つと思います！
再帰的ソリューション
def recursive_solution(remaining_sequence, bigger_than=None):
"""Finds the longest increasing subsequence of remaining_sequence that is
bigger than bigger_than and returns it. This solution is O(2^n)."""
# Base case: nothing is remaining.
if len(remaining_sequence) == 0:
return remaining_sequence
# Recursive case 1: exclude the current element and process the remaining.
best_sequence = recursive_solution(remaining_sequence[1:], bigger_than)
# Recursive case 2: include the current element if it's big enough.
first = remaining_sequence[0]
if (first > bigger_than) or (bigger_than is None):
sequence_with = [first] + recursive_solution(remaining_sequence[1:], first)
# Choose whichever of case 1 and case 2 were longer.
if len(sequence_with) >= len(best_sequence):
best_sequence = sequence_with
return best_sequence
O（n ^ 2）動的プログラミングソリューション
def dynamic_programming_solution(sequence):
"""Finds the longest increasing subsequence in sequence using dynamic
programming. This solution is O(n^2)."""
longest_subsequence_ending_with = []
backreference_for_subsequence_ending_with = []
current_best_end = 0
for curr_elem in range(len(sequence)):
# It's always possible to have a subsequence of length 1.
longest_subsequence_ending_with.append(1)
# If a subsequence is length 1, it doesn't have a backreference.
backreference_for_subsequence_ending_with.append(None)
for prev_elem in range(curr_elem):
subsequence_length_through_prev = (longest_subsequence_ending_with[prev_elem] + 1)
# If the prev_elem is smaller than the current elem (so it's increasing)
# And if the longest subsequence from prev_elem would yield a better
# subsequence for curr_elem.
if ((sequence[prev_elem] < sequence[curr_elem]) and
(subsequence_length_through_prev >
longest_subsequence_ending_with[curr_elem])):
# Set the candidate best subsequence at curr_elem to go through prev.
longest_subsequence_ending_with[curr_elem] = (subsequence_length_through_prev)
backreference_for_subsequence_ending_with[curr_elem] = prev_elem
# If the new end is the best, update the best.
if (longest_subsequence_ending_with[curr_elem] >
longest_subsequence_ending_with[current_best_end]):
current_best_end = curr_elem
# Output the overall best by following the backreferences.
best_subsequence = []
current_backreference = current_best_end
while current_backreference is not None:
best_subsequence.append(sequence[current_backreference])
current_backreference = (backreference_for_subsequence_ending_with[current_backreference])
best_subsequence.reverse()
return best_subsequence
O（n log n）動的プログラミングソリューション
def find_smallest_elem_as_big_as(sequence, subsequence, elem):
"""Returns the index of the smallest element in subsequence as big as
sequence[elem]. sequence[elem] must not be larger than every element in
subsequence. The elements in subsequence are indices in sequence. Uses
binary search."""
low = 0
high = len(subsequence) - 1
while high > low:
mid = (high + low) / 2
# If the current element is not as big as elem, throw out the low half of
# sequence.
if sequence[subsequence[mid]] < sequence[elem]:
low = mid + 1
# If the current element is as big as elem, throw out everything bigger, but
# keep the current element.
else:
high = mid
return high
def optimized_dynamic_programming_solution(sequence):
"""Finds the longest increasing subsequence in sequence using dynamic
programming and binary search (per
http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_increasing_subsequence). This solution
is O(n log n)."""
# Both of these lists hold the indices of elements in sequence and not the
# elements themselves.
# This list will always be sorted.
smallest_end_to_subsequence_of_length = []
# This array goes along with sequence (not
# smallest_end_to_subsequence_of_length). Following the corresponding element
# in this array repeatedly will generate the desired subsequence.
parent = [None for _ in sequence]
for elem in range(len(sequence)):
# We're iterating through sequence in order, so if elem is bigger than the
# end of longest current subsequence, we have a new longest increasing
# subsequence.
if (len(smallest_end_to_subsequence_of_length) == 0 or
sequence[elem] > sequence[smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]]):
# If we are adding the first element, it has no parent. Otherwise, we
# need to update the parent to be the previous biggest element.
if len(smallest_end_to_subsequence_of_length) > 0:
parent[elem] = smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]
smallest_end_to_subsequence_of_length.append(elem)
else:
# If we can't make a longer subsequence, we might be able to make a
# subsequence of equal size to one of our earlier subsequences with a
# smaller ending number (which makes it easier to find a later number that
# is increasing).
# Thus, we look for the smallest element in
# smallest_end_to_subsequence_of_length that is at least as big as elem
# and replace it with elem.
# This preserves correctness because if there is a subsequence of length n
# that ends with a number smaller than elem, we could add elem on to the
# end of that subsequence to get a subsequence of length n+1.
location_to_replace = find_smallest_elem_as_big_as(sequence, smallest_end_to_subsequence_of_length, elem)
smallest_end_to_subsequence_of_length[location_to_replace] = elem
# If we're replacing the first element, we don't need to update its parent
# because a subsequence of length 1 has no parent. Otherwise, its parent
# is the subsequence one shorter, which we just added onto.
if location_to_replace != 0:
parent[elem] = (smallest_end_to_subsequence_of_length[location_to_replace - 1])
# Generate the longest increasing subsequence by backtracking through parent.
curr_parent = smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]
longest_increasing_subsequence = []
while curr_parent is not None:
longest_increasing_subsequence.append(sequence[curr_parent])
curr_parent = parent[curr_parent]
longest_increasing_subsequence.reverse()
return longest_increasing_subsequence
DPソリューションについて言えば、LISを LCS に減らすことができるという事実に誰も言及していないことに驚いた。必要なのは、元のシーケンスのコピーを並べ替え、すべての重複を削除して、それらのLCSを実行することだけです。擬似コードでは次のとおりです。
def LIS(S):
T = sort(S)
T = removeDuplicates(T)
return LCS(S, T)
そして、Goで書かれた完全な実装。解を再構築する必要がない場合は、n ^ 2 DPマトリックス全体を維持する必要はありません。
func lcs(arr1 []int) int {
arr2 := make([]int, len(arr1))
for i, v := range arr1 {
arr2[i] = v
}
sort.Ints(arr1)
arr3 := []int{}
prev := arr1[0] - 1
for _, v := range arr1 {
if v != prev {
prev = v
arr3 = append(arr3, v)
}
}
n1, n2 := len(arr1), len(arr3)
M := make([][]int, n2 + 1)
e := make([]int, (n1 + 1) * (n2 + 1))
for i := range M {
M[i] = e[i * (n1 + 1):(i + 1) * (n1 + 1)]
}
for i := 1; i <= n2; i++ {
for j := 1; j <= n1; j++ {
if arr2[j - 1] == arr3[i - 1] {
M[i][j] = M[i - 1][j - 1] + 1
} else if M[i - 1][j] > M[i][j - 1] {
M[i][j] = M[i - 1][j]
} else {
M[i][j] = M[i][j - 1]
}
}
}
return M[n2][n1]
}
次のC++実装には、prevという配列を使用して、実際の最長の増加サブシーケンスを構築するコードも含まれています。
std::vector<int> longest_increasing_subsequence (const std::vector<int>& s)
{
int best_end = 0;
int sz = s.size();
if (!sz)
return std::vector<int>();
std::vector<int> prev(sz,-1);
std::vector<int> memo(sz, 0);
int max_length = std::numeric_limits<int>::min();
memo[0] = 1;
for ( auto i = 1; i < sz; ++i)
{
for ( auto j = 0; j < i; ++j)
{
if ( s[j] < s[i] && memo[i] < memo[j] + 1 )
{
memo[i] = memo[j] + 1;
prev[i] = j;
}
}
if ( memo[i] > max_length )
{
best_end = i;
max_length = memo[i];
}
}
// Code that builds the longest increasing subsequence using "prev"
std::vector<int> results;
results.reserve(sz);
std::stack<int> stk;
int current = best_end;
while (current != -1)
{
stk.Push(s[current]);
current = prev[current];
}
while (!stk.empty())
{
results.Push_back(stk.top());
stk.pop();
}
return results;
}
スタックなしの実装は、ベクトルを逆にするだけです
#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>
std::vector<int> LIS( const std::vector<int> &v ) {
auto sz = v.size();
if(!sz)
return v;
std::vector<int> memo(sz, 0);
std::vector<int> prev(sz, -1);
memo[0] = 1;
int best_end = 0;
int max_length = std::numeric_limits<int>::min();
for (auto i = 1; i < sz; ++i) {
for ( auto j = 0; j < i ; ++j) {
if (s[j] < s[i] && memo[i] < memo[j] + 1) {
memo[i] = memo[j] + 1;
prev[i] = j;
}
}
if(memo[i] > max_length) {
best_end = i;
max_length = memo[i];
}
}
// create results
std::vector<int> results;
results.reserve(v.size());
auto current = best_end;
while (current != -1) {
results.Push_back(s[current]);
current = prev[current];
}
std::reverse(results.begin(), results.end());
return results;
}
動的プログラミングの観点から問題を評価する3つのステップを次に示します。
- 繰り返し定義：maxLength（i）== 1 + maxLength（j）ここで、0 <j <iおよびarray [i]> array [j]
- 繰り返しパラメーターの境界：パラメーターとして渡される0からi-1個のサブシーケンスがある場合があります
- 評価順序：サブシーケンスが増加するにつれて、0からnまで評価する必要があります
インデックスでシーケンス{0、8、2、3、7、7、9}を例に取ると：
- [0]サブケース{0}を基本ケースとして取得します
- [1] 1つの新しいサブシーケンス{0、8}があります
- [2]インデックス2の要素を既存のサブシーケンスに追加して、2つの新しいシーケンス{0、8、2}および{0、2}を評価しよう-1つだけが有効であるため、3番目の可能なシーケンス{0、2}のみを追加パラメータリストへ...
動作するC++ 11コードは次のとおりです。
#include <iostream>
#include <vector>
int getLongestIncSub(const std::vector<int> &sequence, size_t index, std::vector<std::vector<int>> &sub) {
if(index == 0) {
sub.Push_back(std::vector<int>{sequence[0]});
return 1;
}
size_t longestSubSeq = getLongestIncSub(sequence, index - 1, sub);
std::vector<std::vector<int>> tmpSubSeq;
for(std::vector<int> &subSeq : sub) {
if(subSeq[subSeq.size() - 1] < sequence[index]) {
std::vector<int> newSeq(subSeq);
newSeq.Push_back(sequence[index]);
longestSubSeq = std::max(longestSubSeq, newSeq.size());
tmpSubSeq.Push_back(newSeq);
}
}
std::copy(tmpSubSeq.begin(), tmpSubSeq.end(),
std::back_insert_iterator<std::vector<std::vector<int>>>(sub));
return longestSubSeq;
}
int getLongestIncSub(const std::vector<int> &sequence) {
std::vector<std::vector<int>> sub;
return getLongestIncSub(sequence, sequence.size() - 1, sub);
}
int main()
{
std::vector<int> seq{0, 8, 2, 3, 7, 9};
std::cout << getLongestIncSub(seq);
return 0;
}
O（n ^ 2）アルゴリズムのScala実装は次のとおりです。
object Solve {
def longestIncrSubseq[T](xs: List[T])(implicit ord: Ordering[T]) = {
xs.foldLeft(List[(Int, List[T])]()) {
(sofar, x) =>
if (sofar.isEmpty) List((1, List(x)))
else {
val resIfEndsAtCurr = (sofar, xs).zipped map {
(tp, y) =>
val len = tp._1
val seq = tp._2
if (ord.lteq(y, x)) {
(len + 1, x :: seq) // reversely recorded to avoid O(n)
} else {
(1, List(x))
}
}
sofar :+ resIfEndsAtCurr.maxBy(_._1)
}
}.maxBy(_._1)._2.reverse
}
def main(args: Array[String]) = {
println(longestIncrSubseq(List(
0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9, 5, 13, 3, 11, 7, 15)))
}
}
もう1つのO（n ^ 2）Java実装です。実際のサブシーケンスを生成するための再帰/メモ化はありません。すべての段階で実際のLISを格納する文字列配列と、各要素のLISの長さを格納する配列。とても簡単です。ご覧ください：
import Java.io.BufferedReader;
import Java.io.InputStreamReader;
/**
* Created by Shreyans on 4/16/2015
*/
class LNG_INC_SUB//Longest Increasing Subsequence
{
public static void main(String[] args) throws Exception
{
BufferedReader br=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
System.out.println("Enter Numbers Separated by Spaces to find their LIS\n");
String[] s1=br.readLine().split(" ");
int n=s1.length;
int[] a=new int[n];//Array actual of Numbers
String []ls=new String[n];// Array of Strings to maintain LIS for every element
for(int i=0;i<n;i++)
{
a[i]=Integer.parseInt(s1[i]);
}
int[]dp=new int[n];//Storing length of max subseq.
int max=dp[0]=1;//Defaults
String seq=ls[0]=s1[0];//Defaults
for(int i=1;i<n;i++)
{
dp[i]=1;
String x="";
for(int j=i-1;j>=0;j--)
{
//First check if number at index j is less than num at i.
// Second the length of that DP should be greater than dp[i]
// -1 since dp of previous could also be one. So we compare the dp[i] as empty initially
if(a[j]<a[i]&&dp[j]>dp[i]-1)
{
dp[i]=dp[j]+1;//Assigning temp length of LIS. There may come along a bigger LIS of a future a[j]
x=ls[j];//Assigning temp LIS of a[j]. Will append a[i] later on
}
}
x+=(" "+a[i]);
ls[i]=x;
if(dp[i]>max)
{
max=dp[i];
seq=ls[i];
}
}
System.out.println("Length of LIS is: " + max + "\nThe Sequence is: " + seq);
}
}
アクションのコード： http://ideone.com/sBiOQx
O（n ^ 2）Java実装：
void LIS(int arr[]){
int maxCount[]=new int[arr.length];
int link[]=new int[arr.length];
int maxI=0;
link[0]=0;
maxCount[0]=0;
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if(arr[j]<arr[i] && ((maxCount[j]+1)>maxCount[i])){
maxCount[i]=maxCount[j]+1;
link[i]=j;
if(maxCount[i]>maxCount[maxI]){
maxI=i;
}
}
}
}
for (int i = 0; i < link.length; i++) {
System.out.println(arr[i]+" "+link[i]);
}
print(arr,maxI,link);
}
void print(int arr[],int index,int link[]){
if(link[index]==index){
System.out.println(arr[index]+" ");
return;
}else{
print(arr, link[index], link);
System.out.println(arr[index]+" ");
}
}
これは、動的プログラミングを使用してO（n ^ 2）で解決できます。 Python同じコードは次のようになります。
def LIS(numlist):
LS = [1]
for i in range(1, len(numlist)):
LS.append(1)
for j in range(0, i):
if numlist[i] > numlist[j] and LS[i]<=LS[j]:
LS[i] = 1 + LS[j]
print LS
return max(LS)
numlist = map(int, raw_input().split(' '))
print LIS(numlist)
入力用：5 19 5 81 50 28 29 1 83 23
出力は次のようになります：[1, 2, 1, 3, 3, 3, 4, 1, 5, 3] 5
出力リストのlist_indexは、入力リストのlist_indexです。出力リストの特定のlist_indexの値は、そのlist_indexのサブシーケンスの最大長の増加を示します。
これはO（n ^ 2）のJava実装です。私はバイナリ検索を使用してSの最小要素（Xよりも> =）を見つけませんでした。forループを使用しました。バイナリ検索を使用すると、O（n logn）で複雑になります
public static void olis(int[] seq){
int[] memo = new int[seq.length];
memo[0] = seq[0];
int pos = 0;
for (int i=1; i<seq.length; i++){
int x = seq[i];
if (memo[pos] < x){
pos++;
memo[pos] = x;
} else {
for(int j=0; j<=pos; j++){
if (memo[j] >= x){
memo[j] = x;
break;
}
}
}
//just to print every step
System.out.println(Arrays.toString(memo));
}
//the final array with the LIS
System.out.println(Arrays.toString(memo));
System.out.println("The length of lis is " + (pos + 1));
}
def longestincrsub(arr1):
n=len(arr1)
l=[1]*n
for i in range(0,n):
for j in range(0,i) :
if arr1[j]<arr1[i] and l[i]<l[j] + 1:
l[i] =l[j] + 1
l.sort()
return l[-1]
arr1=[10,22,9,33,21,50,41,60]
a=longestincrsub(arr1)
print(a)
O(nlogn) time（これはO（n ^ 2）時間で解決します）でこれを解決できる方法がありますが、この方法でも動的プログラミングアプローチが得られます。
これがバイナリ検索を使用した私のLeetcodeソリューションです：->
class Solution:
def binary_search(self,s,x):
low=0
high=len(s)-1
flag=1
while low<=high:
mid=(high+low)//2
if s[mid]==x:
flag=0
break
Elif s[mid]<x:
low=mid+1
else:
high=mid-1
if flag:
s[low]=x
return s
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
if not nums:
return 0
s=[]
s.append(nums[0])
for i in range(1,len(nums)):
if s[-1]<nums[i]:
s.append(nums[i])
else:
s=self.binary_search(s,nums[i])
return len(s)
C++でO(nlog(n))時間の複雑さを伴う最も単純なLISソリューション
#include <iostream>
#include "vector"
using namespace std;
// binary search (If value not found then it will return the index where the value should be inserted)
int ceilBinarySearch(vector<int> &a,int beg,int end,int value)
{
if(beg<=end)
{
int mid = (beg+end)/2;
if(a[mid] == value)
return mid;
else if(value < a[mid])
return ceilBinarySearch(a,beg,mid-1,value);
else
return ceilBinarySearch(a,mid+1,end,value);
return 0;
}
return beg;
}
int lis(vector<int> arr)
{
vector<int> dp(arr.size(),0);
int len = 0;
for(int i = 0;i<arr.size();i++)
{
int j = ceilBinarySearch(dp,0,len-1,arr[i]);
dp[j] = arr[i];
if(j == len)
len++;
}
return len;
}
int main()
{
vector<int> arr {2, 5,-1,0,6,1,2};
cout<<lis(arr);
return 0;
}
出力：
4
配列要素で最も長く増加するサブシーケンスのJavaのコードをチェックアウトします
/**
** Java Program to implement Longest Increasing Subsequence Algorithm
**/
import Java.util.Scanner;
/** Class LongestIncreasingSubsequence **/
class LongestIncreasingSubsequence
{
/** function lis **/
public int[] lis(int[] X)
{
int n = X.length - 1;
int[] M = new int[n + 1];
int[] P = new int[n + 1];
int L = 0;
for (int i = 1; i < n + 1; i++)
{
int j = 0;
/** Linear search applied here. Binary Search can be applied too.
binary search for the largest positive j <= L such that
X[M[j]] < X[i] (or set j = 0 if no such value exists) **/
for (int pos = L ; pos >= 1; pos--)
{
if (X[M[pos]] < X[i])
{
j = pos;
break;
}
}
P[i] = M[j];
if (j == L || X[i] < X[M[j + 1]])
{
M[j + 1] = i;
L = Math.max(L,j + 1);
}
}
/** backtrack **/
int[] result = new int[L];
int pos = M[L];
for (int i = L - 1; i >= 0; i--)
{
result[i] = X[pos];
pos = P[pos];
}
return result;
}
/** Main Function **/
public static void main(String[] args)
{
Scanner scan = new Scanner(System.in);
System.out.println("Longest Increasing Subsequence Algorithm Test\n");
System.out.println("Enter number of elements");
int n = scan.nextInt();
int[] arr = new int[n + 1];
System.out.println("\nEnter "+ n +" elements");
for (int i = 1; i <= n; i++)
arr[i] = scan.nextInt();
LongestIncreasingSubsequence obj = new LongestIncreasingSubsequence();
int[] result = obj.lis(arr);
/** print result **/
System.out.print("\nLongest Increasing Subsequence : ");
for (int i = 0; i < result.length; i++)
System.out.print(result[i] +" ");
System.out.println();
}
}
これは、動的プログラミングを使用してO（n ^ 2）で解決できます。
入力要素を順番に処理し、各要素のタプルのリストを維持します。要素iの各タプル（A、B）は、A = iで終わる最長増加サブシーケンスの長さ、およびB = list [iで終わる最長増加サブシーケンスのlist [i]の先行のインデックスを示します。 ]。
要素1から開始して、要素1のタプルのリストは要素iの[（1,0）]になり、リスト0..iをスキャンして、list [k] <list [i]のような要素list [k]を見つけます。 、要素iのAの値、AiはAk + 1、Biはkになります。そのような要素が複数ある場合は、要素iのタプルのリストに追加します。
最後に、A（要素で終わるLISの長さ）の最大値を持つすべての要素を見つけ、タプルを使用してリストを取得するバックトラックします。
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Java O(nlogn)実装です
import Java.util.Scanner;
public class LongestIncreasingSeq {
private static int binarySearch(int table[],int a,int len){
int end = len-1;
int beg = 0;
int mid = 0;
int result = -1;
while(beg <= end){
mid = (end + beg) / 2;
if(table[mid] < a){
beg=mid+1;
result = mid;
}else if(table[mid] == a){
return len-1;
}else{
end = mid-1;
}
}
return result;
}
public static void main(String[] args) {
// int[] t = {1, 2, 5,9,16};
// System.out.println(binarySearch(t , 9, 5));
Scanner in = new Scanner(System.in);
int size = in.nextInt();//4;
int A[] = new int[size];
int table[] = new int[A.length];
int k = 0;
while(k<size){
A[k++] = in.nextInt();
if(k<size-1)
in.nextLine();
}
table[0] = A[0];
int len = 1;
for (int i = 1; i < A.length; i++) {
if(table[0] > A[i]){
table[0] = A[i];
}else if(table[len-1]<A[i]){
table[len++]=A[i];
}else{
table[binarySearch(table, A[i],len)+1] = A[i];
}
}
System.out.println(len);
}
}