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最小スパニングツリーと最短パスツリーの違い

これが演習です：

次のことを証明するか、反例を挙げてください。

（a）無向グラフの最小全域木における頂点のペア間のパスは、必然的に最短（最小重み）のパスですか？

（b）グラフの最小全域木が一意であると仮定します。無向グラフの最小全域木における頂点のペア間のパスは、必然的に最短（最小重み）のパスですか？

私の答えは

（a）

いいえ、たとえば、グラフ0、1、2、0-1が4、1-2が2、2-0が5の場合、0-2の真の最短経路は5ですが、mstは0-1-2です。 、mstでは、0-2は6です

（b）

私の問題はこれにあります（b）

どうしたらいいのかわからないwhether the MST is unique最短パスに影響を与える可能性があります。

まず、私の理解では、エッジの重みが明確でない場合、複数のMSTが同時に存在する可能性があります。

第二に、MSTが一意であっても、上記の（a）の答えは（b）にも当てはまりますよね？

algorithmdata-structuresgraphshortest-pathminimum-spanning-tree
17
Jackson Tale

（a）については同意します。

（b）に関しては、一部のグラフでは、同じ重みを持つ最小全域木がより多く存在する場合があります。頂点a、b、cを持つ円C3を考えてみましょう。重みa-> b = 1、b-> c = 2、a-> c = 2。このグラフには、{a-b-c}と{c-a-b}の2つのMSTがあります。

それでも、MSTはそこで一意であるため、反例は依然として当てはまります。

6
voidengine

それでは、非常に単純なグラフを見てみましょう。

(A)---2----(B)----2---(C)
 \                    /
  ---------3----------

このグラフの最小全域木は、2つのエッジA-BとB-Cで構成されます。他のエッジのセットは、最小全域木を形成しません。

ただし、もちろん、AからCへの最短パスはA-Cであり、MSTには存在しません。

[〜＃〜]編集[〜＃〜]

したがって、パート（b）に答えるには、MSTにない短いパスが存在するため、答えはノーです。

24
Kaushik Shankar

AD a）

非常に単純な視覚化は次のようになります。

グラフのMSP：

enter image description here

AとCの間の最短経路：

enter image description here

AD b）

MSPの独自性は、グラフにMSPMSPが1つしかないことを意味していると思います。したがって：最初に）はい、エッジの重みが明確でない場合、複数のMSTが同時に存在する可能性があります。私たちのグラフの場合、別の可能なMSPには、A-Bの代わりにアークD-Cが含まれます（例として）。第二に）MSTの独自性はa）の答えに影響を与えません。例として： enter image description here

1
PyFox

MSTは開始ノードに関連していませんか？！
次に、彼はMST開始ノードから最短パスを取得しようとしています。したがって、はい、最短パスはAから始まるMSTによって与えられます。

0
Pedro