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3D最小二乗平面

3Dデータポイントのセットが与えられた場合、（x、y、z）空間で最小二乗平面を計算するアルゴリズムは何ですか？つまり、（1、2、3）、（4、5、6）、（7、8、9）などの点がたくさんある場合、最適な平面fを計算するにはどうすればよいでしょうか（x、y）= ax + by + c？ 3Dポイントのセットからa、b、cを取得するアルゴリズムは何ですか？

algorithmmathstatistics
25
soapergem

N個のデータポイント（x [i]、y [i]、z [i]）がある場合、次のエントリを持つ3x3対称行列Aを計算します。

sum_i x[i]*x[i],    sum_i x[i]*y[i],    sum_i x[i]
sum_i x[i]*y[i],    sum_i y[i]*y[i],    sum_i y[i]
sum_i x[i],         sum_i y[i],         n

また、3要素ベクトルbを計算します。

{sum_i x[i]*z[i],   sum_i y[i]*z[i],    sum_i z[i]}

次に、与えられたAとbについてAx = bを解きます。解ベクトルの3つのコンポーネントは、最小二乗適合平面{a、b、c}に対する係数です。

これは「通常の最小二乗」近似であることに注意してください。これは、zがxとyの線形関数であると予想される場合にのみ適切です。 3空間の「最適な平面」をより一般的に探している場合は、「幾何学的な」最小二乗法について学習することをお勧めします。

また、例のポイントのように、ポイントが直線上にある場合は失敗することにも注意してください。

41
Stephen Canon

誰かがここで方程式をタイプする方法を教えてくれない限り、あなたがしなければならない最後の計算を書き留めさせてください：

最初に、ポイントr_i\n\R、i = 1..Nを指定して、すべてのポイントの重心を計算します。

r_G = \frac{\sum_{i=1}^N r_i}{N}

次に、法線ベクトルnを計算します。これは、ベースベクトルr_Gとともに、3x3行列Aを次のように計算して平面を定義します。

A = \sum_{i=1}^N (r_i - r_G)(r_i - r_G)^T

この行列では、法線ベクトルnは、Aの最小固有値に対応するAの固有ベクトルによって与えられます。

固有ベクトル/固有値のペアについて調べるには、任意の線形代数ライブラリを使用します。

このソリューションは、エルミート行列Aのレイリー・リッツ定理に基づいています。

5
josch

平面の方程式は、ax + by + c = zです。したがって、すべてのデータを使用して次のような行列を設定します。

    x_0   y_0   1  
A = x_1   y_1   1  
          ... 
    x_n   y_n   1

そして

    a  
x = b  
    c

そして

    z_0   
B = z_1   
    ...   
    z_n

つまり、Ax = Bです。ここで、係数であるxを解きます。しかし、（私は）あなたが3点以上を持っているので、システムは過剰決定されているので、左の疑似逆を使用する必要があります。だから答えは：

a 
b = (A^T A)^-1 A^T B
c

そして、ここにいくつかの簡単なPython=コードの例を示します：

import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np

N_POINTS = 10
TARGET_X_SLOPE = 2
TARGET_y_SLOPE = 3
TARGET_OFFSET  = 5
EXTENTS = 5
NOISE = 5

# create random data
xs = [np.random.uniform(2*EXTENTS)-EXTENTS for i in range(N_POINTS)]
ys = [np.random.uniform(2*EXTENTS)-EXTENTS for i in range(N_POINTS)]
zs = []
for i in range(N_POINTS):
    zs.append(xs[i]*TARGET_X_SLOPE + \
              ys[i]*TARGET_y_SLOPE + \
              TARGET_OFFSET + np.random.normal(scale=NOISE))

# plot raw data
plt.figure()
ax = plt.subplot(111, projection='3d')
ax.scatter(xs, ys, zs, color='b')

# do fit
tmp_A = []
tmp_b = []
for i in range(len(xs)):
    tmp_A.append([xs[i], ys[i], 1])
    tmp_b.append(zs[i])
b = np.matrix(tmp_b).T
A = np.matrix(tmp_A)
fit = (A.T * A).I * A.T * b
errors = b - A * fit
residual = np.linalg.norm(errors)

print "solution:"
print "%f x + %f y + %f = z" % (fit[0], fit[1], fit[2])
print "errors:"
print errors
print "residual:"
print residual

# plot plane
xlim = ax.get_xlim()
ylim = ax.get_ylim()
X,Y = np.meshgrid(np.arange(xlim[0], xlim[1]),
                  np.arange(ylim[0], ylim[1]))
Z = np.zeros(X.shape)
for r in range(X.shape[0]):
    for c in range(X.shape[1]):
        Z[r,c] = fit[0] * X[r,c] + fit[1] * Y[r,c] + fit[2]
ax.plot_wireframe(X,Y,Z, color='k')

ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
plt.show()

fitted plane

5
Ben

幾何学的なフィット（点から平面までの直交距離）を最小限に抑えるためにこれをどのように考案したかについては、David Eberlyによる「データの最小二乗フィッティング」を参照してください。

bool Geom_utils::Fit_plane_direct(const arma::mat& pts_in, Plane& plane_out)
{
    bool success(false);
    int K(pts_in.n_cols);
    if(pts_in.n_rows == 3 && K > 2)  // check for bad sizing and indeterminate case
    {
        plane_out._p_3 = (1.0/static_cast<double>(K))*arma::sum(pts_in,1);
        arma::mat A(pts_in);
        A.each_col() -= plane_out._p_3; //[x1-p, x2-p, ..., xk-p]
        arma::mat33 M(A*A.t());
        arma::vec3 D;
        arma::mat33 V;
        if(arma::eig_sym(D,V,M))
        {
            // diagonalization succeeded
            plane_out._n_3 = V.col(0); // in ascending order by default
            if(plane_out._n_3(2) < 0)
            {
                plane_out._n_3 = -plane_out._n_3; // upward pointing
            }
            success = true;
        }
    }
    return success;
}

37のタイミングマイクロ秒平面を1000ポイントに合わせる（Windows 7、i7、32ビットプログラム）

enter image description here

4
Patrick K
CGAL::linear_least_squares_fitting_3

関数linear_least_squares_fitting_3は、点、線分、三角形、球、球、直方体、四面体などの3Dオブジェクトのセットの（最小二乗の意味で）最適な3D線または平面を計算します。

http://www.cgal.org/Manual/latest/doc_html/cgal_manual/Principal_component_analysis_ref/Function_linear_least_squares_fitting_3.html

2
Alessandro Jacopson

これは Total Least Squares 問題になり、- [〜＃〜] svd [〜＃〜] 分解を使用して解決できます。

OpenCVを使用したC++コード：

float fitPlaneToSetOfPoints(const std::vector<cv::Point3f> &pts, cv::Point3f &p0, cv::Vec3f &nml) {
    const int SCALAR_TYPE = CV_32F;
    typedef float ScalarType;

    // Calculate centroid
    p0 = cv::Point3f(0,0,0);
    for (int i = 0; i < pts.size(); ++i)
        p0 = p0 + conv<cv::Vec3f>(pts[i]);
    p0 *= 1.0/pts.size();

    // Compose data matrix subtracting the centroid from each point
    cv::Mat Q(pts.size(), 3, SCALAR_TYPE);
    for (int i = 0; i < pts.size(); ++i) {
        Q.at<ScalarType>(i,0) = pts[i].x - p0.x;
        Q.at<ScalarType>(i,1) = pts[i].y - p0.y;
        Q.at<ScalarType>(i,2) = pts[i].z - p0.z;
    }

    // Compute SVD decomposition and the Total Least Squares solution, which is the eigenvector corresponding to the least eigenvalue
    cv::SVD svd(Q, cv::SVD::MODIFY_A|cv::SVD::FULL_UV);
    nml = svd.vt.row(2);

    // Calculate the actual RMS error
    float err = 0;
    for (int i = 0; i < pts.size(); ++i)
        err += powf(nml.dot(pts[i] - p0), 2);
    err = sqrtf(err / pts.size());

    return err;
}
1
Michael Litvin

やりたいことは、2つのリグレッサーによる線形回帰のようです。件名の wikipedia page は、あなたが知る必要のあるすべてを教えてから、いくつかを教えてくれるはずです。

0
Jonathan Chang

あなたがしなければならないのは、方程式系を解くことだけです。

それらがあなたのポイントである場合：（1、2、3）、（4、5、6）、（7、8、9）

それはあなたに方程式を与えます：

3=a*1 + b*2 + c
6=a*4 + b*5 + c
9=a*7 + b*8 + c

だからあなたの質問は実際にあるべきです：方程式系をどのように解決しますか？

したがって、私は this SO質問を読むことをお勧めします。

私があなたの質問を誤解した場合はお知らせください。

[〜＃〜]編集[〜＃〜]：

あなたはおそらく別のことを意味していたので、私の答えは無視してください。

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André Hoffmann