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Sieve of Eratosthenesアルゴリズムの時間計算量

から Wikipedia：

アルゴリズムの複雑さはO(n(logn)(loglogn))ビット操作です。

どうやってそこに着きますか？

複雑さがloglognの用語を含むことは、どこかにsqrt(n)があることを示しています。

最初の100個の数字（n = 100）でふるいを実行していると仮定します。数字を複合としてマークするのに一定の時間がかかると仮定すると（配列の実装）、mark_composite()を使用する回数は

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ... + n/97        =      O(n^2)

そして、次の素数を見つけるために（たとえば、7の倍数であるすべての数を消した後に5にジャンプするため）、操作の数はO(n)になります。

したがって、複雑さはO(n^3)になります。 同意しますか？

algorithmperformancetime-complexitysieve-of-eratosthenes
84
Lazer

  1. 項の数が一定ではないため、n/2 + n/3 + n/5 +…n/97はO（n）ではありません。 [編集後の編集：O（n2）緩い上限は。]緩い上限はn（1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +…1/n）（-の逆数の合計all最大n）までの数字、これはO（n log n）です- 調和数 を参照してください。より適切な上限はn（1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +…）、つまりnまでの素数の逆数の合計、つまりO（n log log n）です。 （ here または here を参照してください。）

  2. 「次の素数を見つける」ビットはO(n)全体、 amortized — total 、ステップごとではないため、アルゴリズムのこの部分はO（n）のみを取ります。

したがって、これら2つを使用すると、O（n log log n）+ O(n) = O（n log log n）算術演算の上限が得られます。ビット演算をカウントする場合、 'nまでの数を処理しているので、それらは約log nビットを持ちます。これは、log nの係数が入る場所で、O（n log n log log n）ビット操作を与えます。

109
ShreevatsaR
  1. 内部ループは_n/i_ステップを実行します。ここで、iは素数=>全体の複雑さはsum(n/i) = n * sum(1/i)です。素調和列によると、iが素数であるsum (1/i)はlog (log n)です。合計で、O(n*log(log n))。

  2. 上のループはnをsqrt(n)に置き換えることで最適化できると思うので、全体的な時間の複雑さはO(sqrt(n)loglog(n))になります。

    _void isprime(int n)
{
    int prime[n],i,j,count1=0;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
       prime[i]=1;
    }
    prime[0]=prime[1]=0;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(prime[i]==1)
        {
            printf("%d ",i);
            for(j=2;(i*j)<=n;j++)
                prime[i*j]=0;
        }
    }    
}
_
8
anand tripathi

複雑度にloglognの用語が含まれていることは、どこかにsqrt（n）があることを示しています。

ふるい分け中に素数Pを見つけた場合、現在の位置+ Pで数字の交差を開始しないことに注意してください。実際にP^2で数字の交差を開始します。 P^2より小さいPのすべての倍数は、以前の素数で相殺されます。

8
jemfinch

上記の説明を参照してください。内側のループは、sqrt（n）までのすべての素数の調和和です。したがって、実際の複雑さはO（sqrt（n）* log（log（sqrt（n））））です

0
Bharath Kumar Reddy Appareddy