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ソートとO（n log n）の謎をマージ

私はすべての説明を読みます ここ ですが、まだ確信がありません。私はmergesortはn * nだと思います、そして私は私が間違っていることを知っていますが、どこにいるかはわかりません。これが私が思うことです：

8つの要素をソートしていて、これがアルゴリズムであると仮定します（私が正しい考えを持っていると仮定します）。

doSort(int begin, int end, int[] arr) {
    if(end != begin) {
        int mid = begin + (end - begin)/2;
        doSort(begin,mid);
        doSort(mid + 1, end);
        merge(arr, begin, mid, mid + 1, end);
    }  
}
merge(int[] arr,int i_begin, i_end, j_begin, j_end) {
// Do the comparison and all that
}

今私の理解によると、merge（）自体は複雑なO（n）を持っています。今度はdoSort（）が何回呼び出され、それゆえにmerge（）が呼び出されたかを見てみましょう。 doSort（）は、次のインデックスに対して呼び出されます。

  1. 0〜7
  2. 0〜3
  3. 4-7
  4. 0〜1
  5. 2-3
  6. 4-5
  7. 6-7

これは7回ですO(n)とすると、8つの要素を並べ替えます。同様に、16要素の場合、merge（）は15回呼び出されます。したがって、配列をそれぞれ半分に分割しますが時間、私たちは決して他の半分を排除していません。これを、各ステップでツリーの半分を排除するBST検索と比較してください。 ）そして、マージソートの場合、マージをn-1回呼び出し、マージがo(n)演算を必要とするたびに、O（n * n）を呼び出します。

どこが間違っているのですか？任意の提案をいただければ幸いです。

algorithmssortingarraybig-o
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Mustafa

並べ替えは1,024個の数値を言い、2つの512要素配列の1つのマージを実行します。 2つの256要素配列の2つのマージ、2つの128要素配列の4つのマージ、8つのtims 64要素、...、2つの1要素配列の512マージを実行します。

単一の最大マージの時間（1 x 512要素）とマージの総数（1,023マージ）を確認したところ、半分のマージが1つの要素配列であり、残りのマージの半分がちょうどであることに気づかなかった2要素配列など。マージの各セットはn = 1024ステップ（1024エレメントの結果で1マージ、512エレメントの結果で2マージ、...、2エレメントの結果で512マージ）をとり、log2（n）= 10セットのマージがあります。合計10 x 1024または（n log2 n）ステップ。

3
gnasher729

マージソートの複雑さはO(nlogn)であり、O（n * n）ではありません。

マージソートは、分割統治アルゴリズムです。 3つのステップで考えてみてください。

除算ステップは、各サブ配列の中点を計算します。この各ステップは単にO(1)の時間を要します。征服ステップは、n/2（偶数）エレメントの2つのサブ配列をそれぞれ再帰的にソートします。マージステップは、O(n)時間。

ここで、ステップ1と3の場合、つまりO(1)とO（n）の間では、O(n)の方が高くなります。ステップ1と3が合計でO(n)時間かかることを考えてみましょう。ある定数cのcnであるとしましょう。

これらのステップは何回実行されますか？

これについては、下のツリーを見てください。上から下までの各レベルについて、レベル2は、それぞれ長さがn/2の2つのサブ配列でmergeメソッドを呼び出します。ここでの複雑さは2 *（cn/2）= cnレベル3は、長さがそれぞれn/4の4つのサブ配列に対してマージメソッドを呼び出します。ここでの複雑さは4 *（cn/4）= cnなどです...

現在、この木の高さは、指定されたnに対して（logn + 1）です。したがって、全体的な複雑さは（logn + 1）*（cn）です。これは、マージソートアルゴリズムのO(nlogn)です。

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Jainul Vaghasia