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ネストされたループのBig-Oとは何ですか？内側のループの反復数は、外側のループの現在の反復によって決定されますか？

次のネストされたループのBig-O時間の複雑さは何ですか。

for(int i = 0; i < N; i++) 
{
    for(int j = i + 1; j < N; j++)
    {
        System.out.println("i = " + i + " j = " + j);
    }

}

O（N ^ 2）でしょうか？

big-onested-loops
43
mmcdole

ええ、それはまだO（n ^ 2）で、定数係数は小さくなっていますが、それはO表記には影響しません。

37
Alex Gaynor

はい。 Big-Oの定義を思い出してください：O（f（n））定義により、ランタイムT（n）≤kf（n）一定の定数kの場合。この場合、ステップ数は（n-1）+（n-2）+ ... +となり、0からn-1の合計に再配置されます。これは

T（n（n-1）（（n-1）+1）/ 2）==。

それを並べ替えると、T（n）が常に≤1/2（n²）になることがわかります。定義により、したがってT（n O（n²））==です。

27
Charlie Martin

System.out.printlnを無視すると、Nの2乗になります。その出力にかかる時間が線形であることを想定している場合（もちろん、そうでない場合もあります）、最終的にO（（N ^ 2）* log N）になると思います。

私はこれをうるさいというわけではなく、複雑さを計算するときに明白なループを考慮する必要がないことを指摘するだけです。あなたが呼ぶものの複雑さも調べる必要があります。

12
Jon Skeet

はい、Nの2乗になります。実際のステップ数は、1からNの合計、つまり.5 *（N-1）^ 2です。 Big Oは最高の指数のみを考慮し、定数は考慮しないため、これは依然としてNの2乗です。

3
Charles Graham

N = 10の場合、反復は10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1になります。 （これは、10回の反復+ 9回の反復+ 8回の反復などです）。

ここで、Nを何回得ることができるか（例では10）を加算に見つける必要があります。

1：（10）、2：（9 + 1）、3：（8 + 2）、4：（7 + 3）、5：（6 + 4）。これは5回です...そして5回の反復を行います。

これで、5の数+ 5があることがわかります。

10（5）+ 5

f(n)（またはN）の観点から、これは次のようになることが簡単にわかります。

f（n）= n(n/2) + n/2 =（n ^ 2）/ 2 + n/2 =（n ^ 2 + n）/ 2 ...これまさにこれらのネストされたループの複雑さです。

しかし、Big Oの漸近的な振る舞いを考えると、単一のnと分母であるf（n）のあまり重要でない値を取り除くことができます。

結果：O（n ^ 2）

3
Jorge Gil

指定されたプログラムの場合：

for (int i = 0; i < n; i++)
    for (int j = i; j < n; j++)
        println(...);

N = 3を考えます。

iの値は0、1、2です。

For i = 0: println will execute 3 times
for i = 1: println will execute 2 times
for i = 2: println will execute 1 times

したがって、println関数は3 + 2 + 1回、つまりn（n + 1）/ 2回実行されます。

したがって、O（n（n + 1）/ 2）= O（n ^ 2）です。

0
Ashwin

AFAILは、内側のループから外側のループまで開始されるので、ネストされたループの複雑さを計算するのに適切な方法です。 enter image description here

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snr