整数のすべての因子を計算するための最速のアルゴリズムは何ですか？

Question

私はこのコードブロックを作成しましたが、計算に多くの時間がかかります...それを行うための効率的な方法を見つけるのを手伝ってくれませんか？

int tag;
int* factors(int n)
{
    int a[1000000];
    for(int i=1;i<=n/2;i++)
        if(n%i==0)
            a[++tag]=i;
    a[++tag]=n;
    return(a);
}

このブルートフォース方式は、複雑さの点で非常に重いです...この問題に対するより良い実行可能な解決策はありますか？

Answer 1

これまで、はるかに高速なアルゴリズムを思いついた人は誰もいません。これは必ずしも何もないことを意味する必要はありませんが、一方でそれをはるかに速く行うことが不可能であることが証明されていません。

考慮したい最適化の1つは、n/2まで検索する必要がないことです。これは、sqrt（n）に達したときにすでに停止できます。

...そして、「chris」コメントですでに述べたように、見つかったすべての候補のリストを本当に返したい場合は、番号に別の保管場所を選択してください。

編集：

時間の観点から、複雑さがあなたが尋ねたものより少し速く実行されるかもしれないかなり多種多様なアルゴリズムが利用可能であると私が宣伝したので、上記の短いコメントよりもいくつかの単語を追加するように示されるかもしれません。

最初にループを奇数に分割した後、2ステップでループを実行するだけで計算時間を安全にする最も明白な可能性に加えて、他にもいくつかのトリックがありますが、それらについては言及しませんでした上記の回答では実質的に高速です。

この決定につながった主な理由は、たとえば、反復回数を2分の1に削減することは、実行時の予想される増加と比較して、大きな勝利のように見える一方で、増加する数の増加は、定数が非常に小さくなるため、複雑さの理論ではまったく違いはなく、両方のアルゴリズムは（ほぼ）同じ時間計算量を持っていると言われます。

元のアルゴリズムの実行時間の数千億倍の定数ゲインを得ることができたとしても、それでも違いはありません。それらの両方。

数値が大きいほど、定数の影響は少なくなります。アドレスを指定する数値の大きさとともに急速に増加している場合は、実行時間の観点から再生をイメージできる可能性があります。

時間の複雑さに関する非常に特別な障壁の1つは、実際に実行可能と単に不可能の境界と見なされることが多い、いわゆるpolynomialランタイムの障壁です。

これは、ランタイムがnの増加に伴って大幅に増加する可能性があるとしても、この増加を定数で説明することは可能です。指数k、ランタイムがn^k前後になるようにします。

一方、polynomialランタイムのないアルゴリズムは、どんなに大きくしたいか指数で測定することはできません。

この違いが本当に重要である理由の例を示すために、2つの架空のアルゴリズムを見てみましょう。多項式ランタイムを持つ最初のものはn^10と言い、もう1つはランタイムn!を持つこれを言います。

少数の場合は悪くないように見えますが、ここでnが10であるとしましょう。ここでは、アルゴリズム1は10^10 = 10000000000時間単位を取りますが、3628800単位しかない場合、2番目のアルゴリズムはさらに高速に実行されるようです。

アルゴリズム2の問題は、アルゴリズム1と比較して、実行時間が劇的に速くなることです。 n=100では、アルゴリズム1の場合は100000000000000000000のようになりますが、アルゴリズム2の場合はすでに93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000のようになります。

n=1000でフロンティアをさらに押し進めると、最終的には1000000000000000000000000000000のアルゴリズム1になりますが、2番目のアルゴリズムは402387260077093773543702433923003985719374864210714632543799910429938512398629020592044208486969404800479988610197196058631666872994808558901323829669944590997424504087073759918823627727188732519779505950995276120874975462497043601418278094646496291056393887437886487337119181045825783647849977012476632889835955735432513185323958463075557409114262417474349347553428646576611667797396668820291207379143853719588249808126867838374559731746136085379534524221586593201928090878297308431392844403281231558611036976801357304216168747609675871348312025478589320767169132448426236131412508780208000261683151027341827977704784635868170164365024153691398281264810213092761244896359928705114964975419909342221566832572080821333186116811553615836546984046708975602900950537616475847728421889679646244945160765353408198901385442487984959953319101723355556602139450399736280750137837615307127761926849034352625200015888535147331611702103968175921510907788019393178114194545257223865541461062892187960223838971476088506276862967146674697562911234082439208160153780889893964518263243671616762179168909779911903754031274622289988005195444414282012187361745992642956581746628302955570299024324153181617210465832036786906117260158783520751516284225540265170483304226143974286933061690897968482590125458327168226458066526769958652682272807075781391858178889652208164348344825993266043367660176999612831860788386150279465955131156552036093988180612138558600301435694527224206344631797460594682573103790084024432438465657245014402821885252470935190620929023136493273497565513958720559654228749774011413346962715422845862377387538230483865688976461927383814900140767310446640259899490222221765904339901886018566526485061799702356193897017860040811889729918311021171229845901641921068884387121855646124960798722908519296819372388642614839657382291123125024186649353143970137428531926649875337218940694281434118520158014123344828015051399694290153483077644569099073152433278288269864602789864321139083506217095002597389863554277196742822248757586765752344220207573630569498825087968928162753848863396909959826280956121450994871701244516461260379029309120889086942028510640182154399457156805941872748998094254742173582401063677404595741785160829230135358081840096996372524230560855903700624271243416909004153690105933983835777939410970027753472000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000のようなものになります。

信じられない場合は、自分で計算してください。 bcマニュアルには、階乗関数を実装する方法の例も含まれています。

しかし、数字を数えている間めまいがしないでください...宇宙の年齢を掛けて、このような大きなスパンを取得するための係数を取得するには、10に追加する必要がある後続のゼロの数を知ることは興味深いかもしれませんプランク時間の単位で測定した場合でも、時間。残念ながらわかりません。

これらすべてについて興味深いのは、今日までpolynomial時間で因数分解を実行できる既知のアルゴリズムがないという事実です。

それ自体が興味深い研究分野であるだけでなく、実用的大きな整数を因数分解できないことも、RSA公開鍵暗号化アルゴリズムで重要な役割を果たします。これは今日広く使用されているため、ほぼ当然のことながら、この領域ではすでに多くの研究が行われています。

（すでに述べた障壁を破ることなく）想定したアルゴリズムよりもsligthly高速に実行されるアルゴリズムを発見する。

「JimBalter」はコメントですでに正しく注釈が付けられているので、参照されている記事を参照することをお勧めします（ http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_factorization#General-purpose を参照）他の人がすでに思いついた方法を見てみましょう。

「ジム」によっても言及されているこの記事は、別​​の興味深いリソースかもしれません:(参照： 最速の因数分解アルゴリズムは何ですか？ ）

注目すべきもう1つの興味深いリンクは、過去数年間のRSA素因数分解の勝者のリストであり、実現可能とほぼ不可能の境界が今日どこにあるのかを何らかの形で理解するためのものです。 （ http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_Factoring_Challenge ）