絵文字は通常、オペレーティングシステムで使用するためにエンドユーザーにライセンスされたローカルに保存されたフォントによってデバイスにレンダリングされます。この場合、あなたのソフトウェアがアートワークを配布していないので、この質問に対する私の答えがArial書体を配布している以上、著作権は関係ありません。
そのようなフォントがないシステムで絵文字をレンダリングする必要がある場合は、オリジナルのアートワークを配布する必要があるため、著作権の問題を検討しています。
ライセンスされたOSの外部でフォントを配布したり、それらからイメージファイルを作成して配布したりするには、OSやそのフォントファイルに付属するライセンスが適用されます。
たとえば、 Gemoji プロジェクトはApple Emoji and is Appleの著作権 -それがあなたがそれらを長く使用できることを意味するかどうかあなたが著作権表示を追加するかどうかにかかわらず、私はあなたに言うことはできません。
対照的に、Androidの絵文字フォントはApache 2ライセンスの下でライセンスされているので、自分の作品ではそれらの条件に従ってフォントを使用できると思います（私は弁護士ではありません）。興味があれば ここではWebフォントとしてAndroid Emoji を使用しています。
注目に値するのは、フルカラーの絵文字のオープンソースセットを作成している Phantom Emoji プロジェクトです。