Linuxシステムでは、$ HOME環境変数は常に設定されていますか？
マシンがLinuxカーネルを実行していると仮定すると、セッションはBashシェルを使用し、すべてがデフォルトの構成を使用しています（ユーザーが構成ファイルに変更を加えていない場合）、$HOME環境変数は常に設定されていますか？
はい。 POSIX仕様OSに$ HOMEの値を設定するように要求します。
HOME
システムは、ログイン時にこの変数を初期化して、ユーザーのホームディレクトリのパス名にします。 pwd.hを参照してください。
ユーザーnobodyはどうですか？
# su - nobody
No directory, logging in with HOME=/
$ echo $HOME
/
nobodyには本当のホームはありませんが、HOMEはルートディレクトリに設定されています。