無向グラフのすべてのサイクルを見つける
無向グラフですべての単純なサイクルを見つけるための実用的なアルゴリズムが必要です。コストは指数関数的であり、問題はNP完全であることはわかっていますが、小さなグラフ（最大20-30頂点）で使用し、サイクル数は少ないです。
長い研究の後（主にここ）、まだ有効なアプローチがありません。私の検索の概要は次のとおりです。
無向グラフのサイクル ->サイクルの有無のみを検出
無向グラフ内のポリゴンを見つける ->非常に良い説明ですが、解決策はありません
有向グラフのすべてのサイクルを見つける ->有向グラフのみでサイクルを検索する
ブーストグラフライブラリを使用して無向グラフのサイクルを検出
私の問題にアプローチする唯一の答えは、これです：
基本的なサイクルのセットを見つけて、それらをXORすることでトリックができるようです。基本的なサイクルのセットを見つけるのは簡単ですが、グラフ内のすべてのサイクルを取得するためにそれらを組み合わせる方法はわかりません...
無向グラフの場合、標準的なアプローチは、いわゆるサイクルベース、つまり他のすべてのサイクルの組み合わせから生成できる単純なサイクルのセットを探すことです。これらは必ずしもグラフ内のすべての単純なサイクルではありません。たとえば、次のグラフを検討してください。
A
/ \
B ----- C
\ /
D
ここには、A-B-C-A、B-C-D-B、A-B-D-C-Aの3つの単純なサイクルがあります。ただし、これらの各2つを基準として、3つ目を2の組み合わせとして取得できます。これは、エッジの方向を観察する必要があるため自由に結合できない有向グラフとは大きく異なります。
無向グラフのサイクルベースを見つけるための標準的なベースラインアルゴリズムは次のとおりです。スパニングツリーを構築し、ツリーの一部ではない各エッジに対して、そのエッジとツリー上のいくつかのエッジからサイクルを構築します。そうしないと、エッジがツリーの一部になるため、このようなサイクルが存在する必要があります。
たとえば、上記のサンプルグラフで考えられるスパニングツリーの1つは次のとおりです。
A
/ \
B C
\
D
ツリーにない2つのエッジはB-CとC-Dです。対応する単純なサイクルは、A-B-C-AとA-B-D-C-Aです。
次のスパニングツリーを構築することもできます。
A
/
B ----- C
\
D
このスパニングツリーの場合、単純なサイクルはA-B-C-AとB-C-D-Bになります。
ベースラインアルゴリズムはさまざまな方法で改良できます。私の知る限り、最良の改良はPatonに属しています（K. Paton、無向線形グラフの基本的なサイクルのセットを見つけるためのアルゴリズム、Comm。ACM 12（1969）、pp。514-518。）。 Javaのオープンソース実装は、ここから入手できます： http://code.google.com/p/niographs/ 。
サイクルベースから単純なサイクルを組み合わせて新しい単純なサイクルを形成する方法について説明しました。まず、グラフのすべてのエッジを任意の順序（ただし今後は固定）でリストします。次に、サイクルに属するエッジの位置に1を配置し、サイクルの一部ではないエッジの位置に0を配置して、ゼロと1のシーケンスでサイクルを表します。次に、シーケンスのビット単位の排他的OR（XOR）を実行します。XORを実行する理由は、両方のサイクルに属するエッジを除外するためです。結合されたサイクルを非単純にします。また、シーケンスのビット単位のANDがすべてゼロではないことを確認することにより、2つのサイクルにいくつかの共通のエッジがあることを確認する必要があります。そうでなければXOR新しい単純なサイクルではなく、2つの独立したサイクルである。
上記のサンプルグラフの例を次に示します。
エッジをリストすることから始めます：（（AB）、（AC）、（BC）、（BD）、（CD））。次に、単純なサイクルA-B-C-A、B-D-C-B、およびA-B-D-C-Aは（1、1、1、0、0）、（0、0、1、1、1）および（1、1、0、1、1）として表されます。これで、たとえばXOR ABCBとBDCBを組み合わせて、結果は（1、1、0、1、1）になります。これは正確にABDCAです。またはXOR =結果が（0、0、1、1、1）であるABCAとABDCAこれはまさにBDCBです。
サイクルベースを指定すると、2つ以上の異なるベースサイクルのすべての可能な組み合わせを調べることで、すべての単純なサイクルを発見できます。手順の詳細については、こちらをご覧ください。 http://dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/68106/FTL_R_1982_07.pdf 14ページ.
完全を期すために、有向グラフのすべての単純なサイクルを見つけるためにアルゴリズムを使用することが可能である（そして非効率的である）ことに気付くでしょう。無向グラフのすべてのエッジは、反対方向に向かう2つの有向エッジに置き換えることができます。次に、有向グラフのアルゴリズムが機能するはずです。無視する必要がある無向グラフのすべてのエッジに1つの「偽」の2ノードサイクルがあり、無向グラフの単純なサイクルの時計回りと反時計回りのバージョンがあります。有向グラフ内のすべてのサイクルを見つけるためのアルゴリズムのJavaのオープンソース実装は、すでに引用したリンクにあります。
以下は、深さ優先検索に基づくC＃（およびJava、回答の終わりを参照）でのデモ実装です。
外側のループはグラフのすべてのノードをスキャンし、すべてのノードから検索を開始します。 Nodeエッジのリストによる）近隣は、サイクルパスに追加されます。非訪問ネイバーをこれ以上追加できない場合、再帰は終了します。パスが2つのノードと次の隣接ノードがパスの開始点です。サイクルの重複を避けるため、最小のノードを開始点に回転させることでサイクルが正規化され、逆の順序のサイクルも考慮されます。
これは単純な実装です。古典的な論文はドナルド・B・ジョンソンです。有向グラフのすべての基本回路を見つける。 SIAM J. Comput。、4（1）：77–84、1975.
最近のアルゴリズムの最近の調査は here にあります。
using System;
using System.Collections.Generic;
namespace akCyclesInUndirectedGraphs
{
class Program
{
// Graph modelled as list of edges
static int[,] graph =
{
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3},
{3, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {7, 8},
{8, 9}, {9, 7}
};
static List<int[]> cycles = new List<int[]>();
static void Main(string[] args)
{
for (int i = 0; i < graph.GetLength(0); i++)
for (int j = 0; j < graph.GetLength(1); j++)
{
findNewCycles(new int[] {graph[i, j]});
}
foreach (int[] cy in cycles)
{
string s = "" + cy[0];
for (int i = 1; i < cy.Length; i++)
s += "," + cy[i];
Console.WriteLine(s);
}
}
static void findNewCycles(int[] path)
{
int n = path[0];
int x;
int[] sub = new int[path.Length + 1];
for (int i = 0; i < graph.GetLength(0); i++)
for (int y = 0; y <= 1; y++)
if (graph[i, y] == n)
// Edge referes to our current node
{
x = graph[i, (y + 1) % 2];
if (!visited(x, path))
// neighbor node not on path yet
{
sub[0] = x;
Array.Copy(path, 0, sub, 1, path.Length);
// explore extended path
findNewCycles(sub);
}
else if ((path.Length > 2) && (x == path[path.Length - 1]))
// cycle found
{
int[] p = normalize(path);
int[] inv = invert(p);
if (isNew(p) && isNew(inv))
cycles.Add(p);
}
}
}
static bool equals(int[] a, int[] b)
{
bool ret = (a[0] == b[0]) && (a.Length == b.Length);
for (int i = 1; ret && (i < a.Length); i++)
if (a[i] != b[i])
{
ret = false;
}
return ret;
}
static int[] invert(int[] path)
{
int[] p = new int[path.Length];
for (int i = 0; i < path.Length; i++)
p[i] = path[path.Length - 1 - i];
return normalize(p);
}
// rotate cycle path such that it begins with the smallest node
static int[] normalize(int[] path)
{
int[] p = new int[path.Length];
int x = smallest(path);
int n;
Array.Copy(path, 0, p, 0, path.Length);
while (p[0] != x)
{
n = p[0];
Array.Copy(p, 1, p, 0, p.Length - 1);
p[p.Length - 1] = n;
}
return p;
}
static bool isNew(int[] path)
{
bool ret = true;
foreach(int[] p in cycles)
if (equals(p, path))
{
ret = false;
break;
}
return ret;
}
static int smallest(int[] path)
{
int min = path[0];
foreach (int p in path)
if (p < min)
min = p;
return min;
}
static bool visited(int n, int[] path)
{
bool ret = false;
foreach (int p in path)
if (p == n)
{
ret = true;
break;
}
return ret;
}
}
}
デモグラフのサイクル：
1,3,2
1,4,3,2
1,4,6,2
1,3,4,6,2
1,4,6,2,3
1,4,3
2,6,4,3
7,9,8
Javaでコーディングされたアルゴリズム：
import Java.util.ArrayList;
import Java.util.List;
public class GraphCycleFinder {
// Graph modeled as list of edges
static int[][] graph =
{
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3},
{3, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {7, 8},
{8, 9}, {9, 7}
};
static List<int[]> cycles = new ArrayList<int[]>();
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
for (int i = 0; i < graph.length; i++)
for (int j = 0; j < graph[i].length; j++)
{
findNewCycles(new int[] {graph[i][j]});
}
for (int[] cy : cycles)
{
String s = "" + cy[0];
for (int i = 1; i < cy.length; i++)
{
s += "," + cy[i];
}
o(s);
}
}
static void findNewCycles(int[] path)
{
int n = path[0];
int x;
int[] sub = new int[path.length + 1];
for (int i = 0; i < graph.length; i++)
for (int y = 0; y <= 1; y++)
if (graph[i][y] == n)
// Edge refers to our current node
{
x = graph[i][(y + 1) % 2];
if (!visited(x, path))
// neighbor node not on path yet
{
sub[0] = x;
System.arraycopy(path, 0, sub, 1, path.length);
// explore extended path
findNewCycles(sub);
}
else if ((path.length > 2) && (x == path[path.length - 1]))
// cycle found
{
int[] p = normalize(path);
int[] inv = invert(p);
if (isNew(p) && isNew(inv))
{
cycles.add(p);
}
}
}
}
// check of both arrays have same lengths and contents
static Boolean equals(int[] a, int[] b)
{
Boolean ret = (a[0] == b[0]) && (a.length == b.length);
for (int i = 1; ret && (i < a.length); i++)
{
if (a[i] != b[i])
{
ret = false;
}
}
return ret;
}
// create a path array with reversed order
static int[] invert(int[] path)
{
int[] p = new int[path.length];
for (int i = 0; i < path.length; i++)
{
p[i] = path[path.length - 1 - i];
}
return normalize(p);
}
// rotate cycle path such that it begins with the smallest node
static int[] normalize(int[] path)
{
int[] p = new int[path.length];
int x = smallest(path);
int n;
System.arraycopy(path, 0, p, 0, path.length);
while (p[0] != x)
{
n = p[0];
System.arraycopy(p, 1, p, 0, p.length - 1);
p[p.length - 1] = n;
}
return p;
}
// compare path against known cycles
// return true, iff path is not a known cycle
static Boolean isNew(int[] path)
{
Boolean ret = true;
for(int[] p : cycles)
{
if (equals(p, path))
{
ret = false;
break;
}
}
return ret;
}
static void o(String s)
{
System.out.println(s);
}
// return the int of the array which is the smallest
static int smallest(int[] path)
{
int min = path[0];
for (int p : path)
{
if (p < min)
{
min = p;
}
}
return min;
}
// check if vertex n is contained in path
static Boolean visited(int n, int[] path)
{
Boolean ret = false;
for (int p : path)
{
if (p == n)
{
ret = true;
break;
}
}
return ret;
}
}
アクセル、あなたのコードをpythonに翻訳しました。コードの約1/4の行で、読みやすくなっています。
graph = [[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [3, 4], [2, 6], [4, 6], [8, 7], [8, 9], [9, 7]]
cycles = []
def main():
global graph
global cycles
for Edge in graph:
for node in Edge:
findNewCycles([node])
for cy in cycles:
path = [str(node) for node in cy]
s = ",".join(path)
print(s)
def findNewCycles(path):
start_node = path[0]
next_node= None
sub = []
#visit each Edge and each node of each Edge
for Edge in graph:
node1, node2 = Edge
if start_node in Edge:
if node1 == start_node:
next_node = node2
else:
next_node = node1
if not visited(next_node, path):
# neighbor node not on path yet
sub = [next_node]
sub.extend(path)
# explore extended path
findNewCycles(sub);
Elif len(path) > 2 and next_node == path[-1]:
# cycle found
p = rotate_to_smallest(path);
inv = invert(p)
if isNew(p) and isNew(inv):
cycles.append(p)
def invert(path):
return rotate_to_smallest(path[::-1])
# rotate cycle path such that it begins with the smallest node
def rotate_to_smallest(path):
n = path.index(min(path))
return path[n:]+path[:n]
def isNew(path):
return not path in cycles
def visited(node, path):
return node in path
main()
これは、上記のコードpython）から適応したこのアルゴリズムの非常に不完全なMATLABバージョンです。
function cycleList = searchCycles(edgeMap)
tic
global graph cycles numCycles;
graph = edgeMap;
numCycles = 0;
cycles = {};
for i = 1:size(graph,1)
for j = 1:2
findNewCycles(graph(i,j))
end
end
% print out all found cycles
for i = 1:size(cycles,2)
cycles{i}
end
% return the result
cycleList = cycles;
toc
function findNewCycles(path)
global graph cycles numCycles;
startNode = path(1);
nextNode = nan;
sub = [];
% visit each Edge and each node of each Edge
for i = 1:size(graph,1)
node1 = graph(i,1);
node2 = graph(i,2);
if node1 == startNode
nextNode = node2;
elseif node2 == startNode
nextNode = node1;
end
if ~(visited(nextNode, path))
% neighbor node not on path yet
sub = nextNode;
sub = [sub path];
% explore extended path
findNewCycles(sub);
elseif size(path,2) > 2 && nextNode == path(end)
% cycle found
p = rotate_to_smallest(path);
inv = invert(p);
if isNew(p) && isNew(inv)
numCycles = numCycles + 1;
cycles{numCycles} = p;
end
end
end
function inv = invert(path)
inv = rotate_to_smallest(path(end:-1:1));
% rotate cycle path such that it begins with the smallest node
function new_path = rotate_to_smallest(path)
[~,n] = min(path);
new_path = [path(n:end), path(1:n-1)];
function result = isNew(path)
global cycles
result = 1;
for i = 1:size(cycles,2)
if size(path,2) == size(cycles{i},2) && all(path == cycles{i})
result = 0;
break;
end
end
function result = visited(node,path)
result = 0;
if isnan(node) && any(isnan(path))
result = 1;
return
end
for i = 1:size(path,2)
if node == path(i)
result = 1;
break
end
end
上記のpythonコードのC++バージョンです：
std::vector< std::vector<vertex_t> > Graph::findAllCycles()
{
std::vector< std::vector<vertex_t> > cycles;
std::function<void(std::vector<vertex_t>)> findNewCycles = [&]( std::vector<vertex_t> sub_path )
{
auto visisted = []( vertex_t v, const std::vector<vertex_t> & path ){
return std::find(path.begin(),path.end(),v) != path.end();
};
auto rotate_to_smallest = []( std::vector<vertex_t> path ){
std::rotate(path.begin(), std::min_element(path.begin(), path.end()), path.end());
return path;
};
auto invert = [&]( std::vector<vertex_t> path ){
std::reverse(path.begin(),path.end());
return rotate_to_smallest(path);
};
auto isNew = [&cycles]( const std::vector<vertex_t> & path ){
return std::find(cycles.begin(), cycles.end(), path) == cycles.end();
};
vertex_t start_node = sub_path[0];
vertex_t next_node;
// visit each Edge and each node of each Edge
for(auto Edge : edges)
{
if( Edge.has(start_node) )
{
vertex_t node1 = Edge.v1, node2 = Edge.v2;
if(node1 == start_node)
next_node = node2;
else
next_node = node1;
if( !visisted(next_node, sub_path) )
{
// neighbor node not on path yet
std::vector<vertex_t> sub;
sub.Push_back(next_node);
sub.insert(sub.end(), sub_path.begin(), sub_path.end());
findNewCycles( sub );
}
else if( sub_path.size() > 2 && next_node == sub_path.back() )
{
// cycle found
auto p = rotate_to_smallest(sub_path);
auto inv = invert(p);
if( isNew(p) && isNew(inv) )
cycles.Push_back( p );
}
}
}
};
for(auto Edge : edges)
{
findNewCycles( std::vector<vertex_t>(1,Edge.v1) );
findNewCycles( std::vector<vertex_t>(1,Edge.v2) );
}
}
@LetterRipと@Axel Kemperに触発されたJavaの短いバージョンは次のとおりです。
public static int[][] graph =
{
{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {2, 4},
{3, 5}
};
public static Set<List<Integer>> cycles = new HashSet<>();
static void findNewCycles(ArrayList<Integer> path) {
int start = path.get(0);
int next = -1;
for (int[] Edge : graph) {
if (start == Edge[0] || start == Edge[1]) {
next = (start == Edge[0]) ? Edge[1] : Edge[0];
if (!path.contains(next)) {
ArrayList<Integer> newPath = new ArrayList<>();
newPath.add(next);
newPath.addAll((path));
findNewCycles(newPath);
} else if (path.size() > 2 && next == path.get(path.size() - 1)) {
List<Integer> normalized = new ArrayList<>(path);
Collections.sort(normalized);
cycles.add(normalized);
}
}
}
}
public static void detectCycle() {
for (int i = 0; i < graph.length; i++)
for (int j = 0; j < graph[i].length; j++) {
ArrayList<Integer> path = new ArrayList<>();
path.add(graph[i][j]);
findNewCycles(path);
}
for (List<Integer> c : cycles) {
System.out.println(c);
}
}
以下は、上記のpythonコードのvb .netバージョンです。
Module Module1
' Graph modelled as list of edges
Public graph As Integer(,) = {{{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3},
{3, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {7, 8},
{8, 9}, {9, 7}}
Public cycles As New List(Of Integer())()
Sub Main()
For i As Integer = 0 To graph.GetLength(0) - 1
For j As Integer = 0 To graph.GetLength(1) - 1
findNewCycles(New Integer() {graph(i, j)})
Next
Next
For Each cy As Integer() In cycles
Dim s As String
s = cy(0)
For i As Integer = 1 To cy.Length - 1
s = s & "," & cy(i)
Next
Console.WriteLine(s)
Debug.Print(s)
Next
End Sub
Private Sub findNewCycles(path As Integer())
Dim n As Integer = path(0)
Dim x As Integer
Dim [sub] As Integer() = New Integer(path.Length) {}
For i As Integer = 0 To graph.GetLength(0) - 1
For y As Integer = 0 To 1
If graph(i, y) = n Then
' Edge referes to our current node
x = graph(i, (y + 1) Mod 2)
If Not visited(x, path) Then
' neighbor node not on path yet
[sub](0) = x
Array.Copy(path, 0, [sub], 1, path.Length)
' explore extended path
findNewCycles([sub])
ElseIf (path.Length > 2) AndAlso (x = path(path.Length - 1)) Then
' cycle found
Dim p As Integer() = normalize(path)
Dim inv As Integer() = invert(p)
If isNew(p) AndAlso isNew(inv) Then
cycles.Add(p)
End If
End If
End If
Next
Next
End Sub
Private Function equals(a As Integer(), b As Integer()) As Boolean
Dim ret As Boolean = (a(0) = b(0)) AndAlso (a.Length = b.Length)
Dim i As Integer = 1
While ret AndAlso (i < a.Length)
If a(i) <> b(i) Then
ret = False
End If
i += 1
End While
Return ret
End Function
Private Function invert(path As Integer()) As Integer()
Dim p As Integer() = New Integer(path.Length - 1) {}
For i As Integer = 0 To path.Length - 1
p(i) = path(path.Length - 1 - i)
Next
Return normalize(p)
End Function
' rotate cycle path such that it begins with the smallest node
Private Function normalize(path As Integer()) As Integer()
Dim p As Integer() = New Integer(path.Length - 1) {}
Dim x As Integer = smallest(path)
Dim n As Integer
Array.Copy(path, 0, p, 0, path.Length)
While p(0) <> x
n = p(0)
Array.Copy(p, 1, p, 0, p.Length - 1)
p(p.Length - 1) = n
End While
Return p
End Function
Private Function isNew(path As Integer()) As Boolean
Dim ret As Boolean = True
For Each p As Integer() In cycles
If equals(p, path) Then
ret = False
Exit For
End If
Next
Return ret
End Function
Private Function smallest(path As Integer()) As Integer
Dim min As Integer = path(0)
For Each p As Integer In path
If p < min Then
min = p
End If
Next
Return min
End Function
Private Function visited(n As Integer, path As Integer()) As Boolean
Dim ret As Boolean = False
For Each p As Integer In path
If p = n Then
ret = True
Exit For
End If
Next
Return ret
End Function
終了モジュール
上記のサイクルFinderにはいくつかの問題があるようです。 C＃バージョンでは、いくつかのサイクルが見つかりません。私のグラフは：
{2,8},{4,8},{5,8},{1,9},{3,9},{4,9},{5,9},{6,9},{1,10},
{4,10},{5,10},{6,10},{7,10},{1,11},{4,11},{6,11},{7,11},
{1,12},{2,12},{3,12},{5,12},{6,12},{2,13},{3,13},{4,13},
{6,13},{7,13},{2,14},{5,14},{7,14}
たとえば、サイクル：1-9-3-12-5-10 見つかりません。 C++バージョンも試してみましたが、非常に大きな（数千万）サイクルを返しますが、明らかに間違っています。おそらく、サイクルの一致に失敗します。
申し訳ありませんが、私は少し苦労しており、これ以上調査していません。 Nikolay Ognyanovの投稿に基づいて独自のバージョンを作成しました（投稿していただきありがとうございます）。上記のグラフでは、私のバージョンは8833サイクルを返しますが、それが正しいことを確認しようとしています。 C＃バージョンは8397サイクルを返します。
pythonコードのノードバージョンです。
const graph = [[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [3, 4], [2, 6], [4, 6], [8, 7], [8, 9], [9, 7]]
let cycles = []
function main() {
for (const Edge of graph) {
for (const node of Edge) {
findNewCycles([node])
}
}
for (cy of cycles) {
console.log(cy.join(','))
}
}
function findNewCycles(path) {
const start_node = path[0]
let next_node = null
let sub = []
// visit each Edge and each node of each Edge
for (const Edge of graph) {
const [node1, node2] = Edge
if (Edge.includes(start_node)) {
next_node = node1 === start_node ? node2 : node1
}
if (notVisited(next_node, path)) {
// eighbor node not on path yet
sub = [next_node].concat(path)
// explore extended path
findNewCycles(sub)
} else if (path.length > 2 && next_node === path[path.length - 1]) {
// cycle found
const p = rotateToSmallest(path)
const inv = invert(p)
if (isNew(p) && isNew(inv)) {
cycles.Push(p)
}
}
}
}
function invert(path) {
return rotateToSmallest([...path].reverse())
}
// rotate cycle path such that it begins with the smallest node
function rotateToSmallest(path) {
const n = path.indexOf(Math.min(...path))
return path.slice(n).concat(path.slice(0, n))
}
function isNew(path) {
const p = JSON.stringify(path)
for (const cycle of cycles) {
if (p === JSON.stringify(cycle)) {
return false
}
}
return true
}
function notVisited(node, path) {
const n = JSON.stringify(node)
for (const p of path) {
if (n === JSON.stringify(p)) {
return false
}
}
return true
}
main()