デフォルトで独自仕様のAMDグラフィックスドライバーをサポートするUbuntu 16.04派生物はありますか？
一般的に言えば、AMDグラフィックスだけでなく、オープンソースドライバーを使用するというアイデアが好きです。
ただし、OpenGl 4を必要とするアプリケーションを実行することはできません。fglrxはUbuntu 16.04で非推奨になっているため、aptインストールでインストールできません。
デフォルトでAMD独自のドライバーをサポートするUbuntuの最新のLTSエディションの派生物はありますか？
いいえ。fglrxがXorg 1.18をサポートしていないためです。これはUbuntu 16.04に付属しています（Wilfに感謝します）。 AMDは、それを動作するようにアップグレードする予定はありません。Canonicalは、今後5年間、ドライバを単独で維持する必要はありません。
サポートされているカードがある場合は、 AMD GPU-PROドライバーベータ版 を試してください。
それ以外の場合は、15.10にダウングレードするか、オープンソースドライバーに対応する必要があります。