商用ソフトウェアをビルドする場合は、Apacheライセンスバージョンを使用してください。これはLGPLよりも寛容なライセンスであるため、Apacheライセンスのすべての条項に従うことを条件に、Apacheライセンスの下でジャクソンを使用して問題が発生することはありません（すべて非常に合理的です）。主な違いは、LGPLは特定のユースケースでアプリケーションをオープンソースにすることを要求する場合があり、Apacheライセンスはそうしないことです。
ユースケースによっては、LGPLバージョンも使用できる場合がありますが、Apacheライセンスの方が安全です。
使用するライセンスを知るには、自分でライセンスを読む必要があります。
http://www.gnu.org/licenses/lgpl.html
http://www.Apache.org/licenses/LICENSE-2.0.html
LGPLバージョンでは、ソースコードをライブラリに渡す必要がありますが、Apacheバージョンでは必要ありません。どのライセンスがプロジェクトに適しているかを決めるのはあなた次第です。