Javaで素数性をテストする最速の方法は何でしょうか？
私は、与えられた数が素数であるかどうかを（Javaで）チェックする最速の方法を見つけようとしています。以下は、私が思いついたいくつかの素数性テストの方法です。 2番目の実装（isPrime2）よりも良い方法はありますか？
public class Prime {
public static boolean isPrime1(int n) {
if (n <= 1) {
return false;
}
if (n == 2) {
return true;
}
for (int i = 2; i <= Math.sqrt(n) + 1; i++) {
if (n % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
public static boolean isPrime2(int n) {
if (n <= 1) {
return false;
}
if (n == 2) {
return true;
}
if (n % 2 == 0) {
return false;
}
for (int i = 3; i <= Math.sqrt(n) + 1; i = i + 2) {
if (n % i == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
}
public class PrimeTest {
public PrimeTest() {
}
@Test
public void testIsPrime() throws IllegalArgumentException, IllegalAccessException, InvocationTargetException {
Prime prime = new Prime();
TreeMap<Long, String> methodMap = new TreeMap<Long, String>();
for (Method method : Prime.class.getDeclaredMethods()) {
long startTime = System.currentTimeMillis();
int primeCount = 0;
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
if ((Boolean) method.invoke(prime, i)) {
primeCount++;
}
}
long endTime = System.currentTimeMillis();
Assert.assertEquals(method.getName() + " failed ", 78498, primeCount);
methodMap.put(endTime - startTime, method.getName());
}
for (Entry<Long, String> entry : methodMap.entrySet()) {
System.out.println(entry.getValue() + " " + entry.getKey() + " Milli seconds ");
}
}
}
別の方法を次に示します。
_boolean isPrime(long n) {
if(n < 2) return false;
if(n == 2 || n == 3) return true;
if(n%2 == 0 || n%3 == 0) return false;
long sqrtN = (long)Math.sqrt(n)+1;
for(long i = 6L; i <= sqrtN; i += 6) {
if(n%(i-1) == 0 || n%(i+1) == 0) return false;
}
return true;
}
_および BigInteger's isProbablePrime(...) は、すべての32ビットintに対して有効です。
[〜＃〜] edit [〜＃〜]
isProbablePrime(certainty)は常に正しい答えを生成するとは限らないことに注意してください。確実性が低い側にある場合、@ dimo414がコメントで述べたように、誤検出を生成します。
残念ながら、isProbablePrime(certainty)がすべての（32ビット）intに対して有効であると主張するソースを見つけることができませんでした（十分に確実に！）。
そこで、いくつかのテストを実行しました。すべての不均等な数を表すサイズ_Integer.MAX_VALUE/2_のBitSetを作成し、プライムシーブを使用して、範囲_1..Integer.MAX_VALUE_のすべての素数を見つけました。次に、_i=1..Integer.MAX_VALUE_からループして、すべてのnew BigInteger(String.valueOf(i)).isProbablePrime(certainty) == isPrime(i)をテストしました。
確実性5および10の場合、isProbablePrime(...)はラインに沿って偽陽性を生成しました。しかし、isProbablePrime(15)では、テストは失敗しませんでした。
これが私のテスト装置です。
_import Java.math.BigInteger;
import Java.util.BitSet;
public class Main {
static BitSet primes;
static boolean isPrime(int p) {
return p > 0 && (p == 2 || (p%2 != 0 && primes.get(p/2)));
}
static void generatePrimesUpTo(int n) {
primes = new BitSet(n/2);
for(int i = 0; i < primes.size(); i++) {
primes.set(i, true);
}
primes.set(0, false);
int stop = (int)Math.sqrt(n) + 1;
int percentageDone = 0, previousPercentageDone = 0;
System.out.println("generating primes...");
long start = System.currentTimeMillis();
for(int i = 0; i <= stop; i++) {
previousPercentageDone = percentageDone;
percentageDone = (int)((i + 1.0) / (stop / 100.0));
if(percentageDone <= 100 && percentageDone != previousPercentageDone) {
System.out.println(percentageDone + "%");
}
if(primes.get(i)) {
int number = (i * 2) + 1;
for(int p = number * 2; p < n; p += number) {
if(p < 0) break; // overflow
if(p%2 == 0) continue;
primes.set(p/2, false);
}
}
}
long elapsed = System.currentTimeMillis() - start;
System.out.println("finished generating primes ~" + (elapsed/1000) + " seconds");
}
private static void test(final int certainty, final int n) {
int percentageDone = 0, previousPercentageDone = 0;
long start = System.currentTimeMillis();
System.out.println("testing isProbablePrime(" + certainty + ") from 1 to " + n);
for(int i = 1; i < n; i++) {
previousPercentageDone = percentageDone;
percentageDone = (int)((i + 1.0) / (n / 100.0));
if(percentageDone <= 100 && percentageDone != previousPercentageDone) {
System.out.println(percentageDone + "%");
}
BigInteger bigInt = new BigInteger(String.valueOf(i));
boolean bigIntSays = bigInt.isProbablePrime(certainty);
if(isPrime(i) != bigIntSays) {
System.out.println("ERROR: isProbablePrime(" + certainty + ") returns "
+ bigIntSays + " for i=" + i + " while it " + (isPrime(i) ? "is" : "isn't" ) +
" a prime");
return;
}
}
long elapsed = System.currentTimeMillis() - start;
System.out.println("finished testing in ~" + ((elapsed/1000)/60) +
" minutes, no false positive or false negative found for isProbablePrime(" + certainty + ")");
}
public static void main(String[] args) {
int certainty = Integer.parseInt(args[0]);
int n = Integer.MAX_VALUE;
generatePrimesUpTo(n);
test(certainty, n);
}
}
_私が実行して実行した：
_Java -Xmx1024m -cp . Main 15
_プライムの生成には、私のマシンで約30秒かかりました。 _1..Integer.MAX_VALUE_のすべてのiの実際のテストには、約2時間15分かかりました。
これが最もエレガントな方法です。
public static boolean isPrime(int n) {
return !new String(new char[n]).matches(".?|(..+?)\\1+");
}
Java 1.4以降。インポートは必要ありません。
短い。とても美しい。
AKS primality test （およびそのさまざまな最適化）を見てください。これは、多項式時間で実行される決定論的な素数テストです。
Java こちらはチュービンゲン大学（ドイツ）から） にアルゴリズムの実装があります
2の倍数をすべて除去する最初の一歩を踏み出しました。
しかし、なぜそこで止めたのですか？ 3を除く3のすべての倍数、5を除く5のすべての倍数などをすべて削除できます。
この結論に基づいて結論を出すと、 エラトステネスのふるい が得られます。
アルゴリズムは、適度に小さい数に対してうまく機能します。大きな数の場合、高度なアルゴリズムを使用する必要があります（たとえば、楕円曲線に基づく）。別のアイデアは、いくつかの「擬似プライム」テストを使用することです。これらは、数値が素数であることをすばやくテストしますが、100％正確ではありません。ただし、アルゴリズムを使用するよりも、いくつかの数値をすばやく除外できます。
最後に、コンパイラはおそらくこれを最適化するでしょうが、次のように書く必要があります。
int max = (int) (Math.sqrt(n) + 1);
for (int i = 3; i <= max; i = i + 2) {
}
数が素数であるかどうかを調べようとしているだけでは十分ですが、0からnまでのすべての素数を見つけようとしている場合、より良いオプションは Ser of Eratosthenes です
ただし、Javaの配列サイズなどの制限に依存します。
あなたが書いたのは、ほとんどの一般的なプログラマーが行うことであり、ほとんどの場合、これで十分です。
ただし、「最高の科学的アルゴリズム」を使用している場合、多くのバリエーション（さまざまなレベルの確実性）が文書化されています http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number 。
たとえば、70桁の数字がある場合、JVMの物理的制限によりコードの実行が妨げられる可能性があり、その場合は「Sieves」などを使用できます。
繰り返しますが、これがプログラミングの質問であるか、ソフトウェアの使用に関する一般的な質問である場合、あなたのコードは完璧でなければなりません:)
テストする必要がある数の長さに応じて、小さい値（n <10 ^ 6）の素数のリストを事前計算できます。これは、求められた数がこの範囲内にある場合に最初に使用されます。これはもちろん最速の方法です。他の回答で述べたように、 エラトステネスのふるい は、そのような事前計算済みリストを生成するための推奨される方法です。
数値がこれよりも大きい場合、Rabinの素数性テストを使用できます。 ラビン素数テスト
Jaeschke（1993）による高速テストは、確定的バージョンのMiller-Rabinテストで、4,759,123,141未満の誤検出がないため、Java intsに適用できます。
// Given a positive number n, find the largest number m such
// that 2^m divides n.
private static int val2(int n) {
int m = 0;
if ((n&0xffff) == 0) {
n >>= 16;
m += 16;
}
if ((n&0xff) == 0) {
n >>= 8;
m += 8;
}
if ((n&0xf) == 0) {
n >>= 4;
m += 4;
}
if ((n&0x3) == 0) {
n >>= 2;
m += 2;
}
if (n > 1) {
m++
}
return m;
}
// For convenience, handle modular exponentiation via BigInteger.
private static int modPow(int base, int exponent, int m) {
BigInteger bigB = BigInteger.valueOf(base);
BigInteger bigE = BigInteger.valueOf(exponent);
BigInteger bigM = BigInteger.valueOf(m);
BigInteger bigR = bigB.modPow(bigE, bigM);
return bigR.intValue();
}
// Basic implementation.
private static boolean isStrongProbablePrime(int n, int base) {
int s = val2(n-1);
int d = modPow(b, n>>s, n);
if (d == 1) {
return true;
}
for (int i=1; i < s; i++) {
if (d+1 == n) {
return true;
}
d = d*d % n;
}
return d+1 == n;
}
public static boolean isPrime(int n) {
if ((n&1) == 0) {
return n == 2;
}
if (n < 9) {
return n > 1;
}
return isStrongProbablePrime(n, 2) && isStrongProbablePrime(n, 7) && isStrongProbablePrime(n, 61);
}
これはlong変数では機能しませんが、別のテストでは機能します。BPSWテストには2 ^ 64までの反例がありません。これは基本的に、上記のような2つの強力なプライムテストと、それに続く少し複雑ですが根本的には異なる強力なルーカステストで構成されます。
これらのテストは、いずれの種類の試験部門よりも非常に高速です。
この方法が最適だと思います。少なくとも私にとっては-
public static boolean isPrime(int num)
{
for (int i = 2; i<= num/i; i++)
{
if (num % i == 0)
{
return false;
}
}
return num > 1;
}
もちろん数百の素数性テストがあり、すべて数のサイズ、特殊な形式、因子サイズなどに基づいてさまざまな利点と欠点があります。
ただし、Javaで最も便利なものは次のようになります。
BigInteger.valueOf(long/int num).isProbablePrime(int certainty);
すでに実装されており、非常に高速です（0〜2 ^ 64の長さで15の確実性で満たされた1000x1000のマトリックスでは約6秒かかります）。
Baillie–PSW primality test のバージョンを使用します。これには反例がありません。 （ただし、テストのわずかに弱いバージョンを使用する場合がありますが、これは時々エラーになる可能性があります。）
アルゴリズム効率：O（n ^（1/2））アルゴリズム
注：以下のこのサンプルコードには、カウント変数と、結果を印刷するための印刷関数の呼び出しが含まれています。
import Java.util.*;
class Primality{
private static void printStats(int count, int n, boolean isPrime) {
System.err.println( "Performed " + count + " checks, determined " + n
+ ( (isPrime) ? " is PRIME." : " is NOT PRIME." ) );
}
/**
* Improved O( n^(1/2)) ) Algorithm
* Checks if n is divisible by 2 or any odd number from 3 to sqrt(n).
* The only way to improve on this is to check if n is divisible by
* all KNOWN PRIMES from 2 to sqrt(n).
*
* @param n An integer to be checked for primality.
* @return true if n is prime, false if n is not prime.
**/
public static boolean primeBest(int n){
int count = 0;
// check lower boundaries on primality
if( n == 2 ){
printStats(++count, n, true);
return true;
} // 1 is not prime, even numbers > 2 are not prime
else if( n == 1 || (n & 1) == 0){
printStats(++count, n, false);
return false;
}
double sqrtN = Math.sqrt(n);
// Check for primality using odd numbers from 3 to sqrt(n)
for(int i = 3; i <= sqrtN; i += 2){
count++;
// n is not prime if it is evenly divisible by some 'i' in this range
if( n % i == 0 ){
printStats(++count, n, false);
return false;
}
}
// n is prime
printStats(++count, n, true);
return true;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
while(scan.hasNext()) {
int n = scan.nextInt();
primeBest(n);
System.out.println();
}
scan.close();
}
}
素数2147483647を入力すると、次の出力が生成されます。
23170チェックを実行し、2147483647がPRIMEであると判断しました。
ここで試用区分を最適化しました。ブール値を返します。 isPrime（n）以外のメソッドも必要です。
static boolean[] smlprime = {false, false, true, true, false, true, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, false, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, false, true, false, false, false, true, false, false, false, false, false, true, false, true, false, false, false, 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public static boolean isPrime(long n) { //optimised
if (n < 2) {
return false;
}
if (n < smlprime.length) //less than smlprime.length do not need to be checked
{
return smlprime[(int) n]; //lol already checked
}
long[] dgt = longDigits(n);
long ones = dgt[dgt.length - 1];
if (ones % 2 == 0) {
return false;
}
if (ones == 0 || ones == 5) {
return false;
}
if (digitadd(n) % 3 == 0) {
return false;
}
if (n % 7 == 0) {
return false;
}
if (Square(n)) {
return false;
}
long hf = (long) Math.sqrt(n);
for (long j = 11; j < hf; j = nextProbablePrime(j)) {
//System.out.prlongln(Math.sqrt(i));
if (n % j == 0) {
return false;
}
//System.out.prlongln("res"+res);
}
return true;
}
public static long nextProbablePrime(long n) {
for (long i = n;; i++) {
if (i % 2 != 0 && i % 3 != 0 && i % 7 != 0) {
return i;
}
}
}
public static boolean Square(long n) {
long root = (long) Math.sqrt(n);
return root * root == n;
}
public static long[] longDigits(long n) {
String[] a = Long.toString(n).split("(?!^)");
long[] out = new long[a.length];
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
out[i] = Long.parseLong(a[i]);
}
return out;
}
public static long digitadd(long n) {
long[] dgts = longDigits(n);
long ans = 0;
for (long i : dgts) {
ans += i;
}
return ans;
}
intel Atom @ 1.60GHz、2GB RAM、32ビットオペレーティングシステムでテスト済み
テスト結果：
Long.MAX_VALUE = 9223372036854775807より小さい最大の素数は9223372036854775783です
経過時間は171499ミリ秒または2分51秒です
public class PrimalityTest
{
public static void main(String[] args)
{
long current_local_time = System.currentTimeMillis();
long long_number = 9223372036854775783L;
long long_a;
long long_b;
if (long_number < 2)
{
System.out.println(long_number + " is not a prime number");
}
else if (long_number < 4)
{
System.out.println(long_number + " is a prime number");
}
else if (long_number % 2 == 0)
{
System.out.println(long_number + " is not a prime number and is divisible by 2");
}
else
{
long_a = (long) (Math.ceil(Math.sqrt(long_number)));
terminate_loop:
{
for (long_b = 3; long_b <= long_a; long_b += 2)
{
if (long_number % long_b == 0)
{
System.out.println(long_number + " is not a prime number and is divisible by " + long_b);
break terminate_loop;
}
}
System.out.println(long_number + " is a prime number");
}
}
System.out.println("elapsed time: " + (System.currentTimeMillis() - current_local_time) + " millisecond/s");
}
}