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Mathematica 8のコマンドですべてのコアを使用する方法は？

Mathematica 8の多くのコマンド（Integrate、Simplifyなど）は私のシステムで単一のコアしか使用していないようです。計算にすべてのコアを利用するようにアフィニティを変更する方法はありますか？

linuxmulti-coremathematica
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derdack

他の質問やコメントで述べたように、IntegrateやSimplifyのようなものは並列化するのが本当に難しいので、MathematicaはメッセージParallelize::nopar1を返し、「順次評価」を続行します。

（リフレクションでは、おそらくFullSimplifyは並列化できます。これは、基本的にさまざまなルールを試し、それらに対してリーフカウントを実行することで機能するためです...）

行うべき積分や簡略化がたくさんある場合は、ParallelTableまたはParallelMapなどを使用できます。

簡単な例として、被積分関数がある場合

In[1]:= ints = Table[x^n, {n, 1, 10}]
Out[1]= {x, x^2, x^3, x^4, x^5, x^6, x^7, x^8, x^9, x^10}

ParallelTableを使用できます

In[2]:= ParallelTable[Integrate[int, x], {int, ints}]
Out[2]= {x^2/2, x^3/3, x^4/4, x^5/5, x^6/6, x^7/7, x^8/8,\ 
         x^9/9, x^10/10, x^11/11}

またはParallelMap

In[3]:= ParallelMap[Integrate[#, x] &, ints]
Out[3]= {x^2/2, x^3/3, x^4/4, x^5/5, x^6/6, x^7/7, x^8/8,\  
         x^9/9, x^10/10, x^11/11}

明らかに、上記のような積分の小さなリストの場合、並列化のオーバーヘッドはおそらく利点よりも大きくなります。しかし、本当に大きなリストと複雑な積分がある場合は、おそらくそれだけの価値があります。

コメントに応じて編集する

OPが関心を持っている非常に厄介な被積分関数を考えると（注：結果を単純化する必要があります！）、積分を単項式の合計に分割し、ParallelDoを使用して積分を実行するコードを次に示します。

まず、Pastebinから積分をインポートします

In[1]:= import = Import["http://Pastebin.com/raw.php?i=JZ0CXewJ", "Text"];

統合ドメインを抽出します

In[2]:= intLimits = Rest@(2 Pi^5 ToExpression[StringReplace[import, "Integrate" -> "List"]])
        vars = intLimits[[All, 1]];

Out[2]= {{\[Theta]3, 0, 2*Pi}, {\[Theta]2, 0, 2*Pi}, 
         {\[Theta]1, 0, 2*Pi}, {\[CurlyPhi]2, 0, Pi/2}, {\[CurlyPhi]1, 0, Pi/2}}

そして、21の怪物用語の合計として来る被積分関数

In[4]:= integrand = First@(2 Pi^5 ToExpression[StringReplace[import, "Integrate" -> "Hold"]]);
        Length[integrand]
        LeafCount[integrand]

Out[5]= 21
Out[6]= 48111

恐ろしい混乱を一口サイズの塊に分解する必要があります。まず、積分からすべての異なる関数を抽出します

In[7]:= (fns=Union[vars, Cases[integrand, (Cos|Sin|Tan|Sec|Csc|Cot)[x_]/;!FreeQ[x,Alternatives@@vars],Infinity]])//Timing
Out[7]= {0.1,{\[Theta]1, <snip> ,Tan[\[CurlyPhi]2]}}

fnsから構築された単項式の（13849非消失）係数を見つけます

In[8]:= coef = CoefficientRules[integrand, fns]; // Timing
         Length@coef

Out[8]= {35.63, Null}
Out[9]= 13849

すべての係数に積分変数がないことを確認してください

In[10]:= FreeQ[coef[[All, 2]], Alternatives@@vars]
Out[10]= True

FactorまたはSimplifyを使用して係数を実際にクリーンアップし、ByteSizeを約5分の1に減らすことができることに注意してください...しかし、ほとんどの単項式の積分はゼロであるため、最後まで簡略化を残したほうがよいでしょう。

これは、単項式を再構築し、それを統合し、その係数と再結合する方法です。たとえば、40番目の単項式は消えない積分を与えます。

In[11]:= monomialNum=40;
         Times@@(fns^coef[[monomialNum,1]])
         Integrate[%, Sequence@@intLimits]
         coef[[monomialNum,2]] %//Factor
Out[12]= \[Theta]1 Cos[\[Theta]1]^2 Cos[\[CurlyPhi]1]^4 Cos[4 \[CurlyPhi]1] Cos[\[CurlyPhi]2]^4 Cos[2 \[CurlyPhi]2] Sin[\[Theta]1]^2
Out[13]= \[Pi]^6/256
Out[14]= -((k1^2 (k1-k2) (k1+k2) (-2+p) p^3 \[Pi]^6 \[Sigma]^4)/(131072 \[Omega]1))

デュアルコアラップトップですべての統合を行うには永遠に時間がかかるため、今のところ用語の数を減らします。積分のセット全体を評価する場合は、次の行を削除またはコメントアウトします

In[15]:= coef = RandomChoice[coef, 100];  (* Delete me!! *)

OK、単項式積分結果の空のリストを初期化します

In[16]:= SetSharedVariable[ints]
         ints = ConstantArray[Null, Length@coef];

積分を実行すると、積分された単項式ごとにPrint outnum：{タイミング、結果}になります。印刷された各セルのCellLabelは、どのコアが積分を行ったかを示します。印刷が煩わしい場合があります。煩わしい場合は、PrintをPrintTemporyまたは##&に置き換えてください。ある種の動的変数を使用して計算を監視することもできます。 a プログレスバー 。

ParallelDo[Print[c, ": ", Timing[
            ints[[c]] = Integrate[Times@@(fns^coef[[c,1]]), Sequence@@intLimits]]], 
           {c, Length@coef}]

それらの係数と組み合わせる

1/(2 Pi^5) Simplify[ints.coef[[All, 2]]]

そして（うまくいけば）それだけです！

3
Simon

ドキュメントの並列化 から、[例]> [考えられる問題]の下：

Parallelize[Integrate[1/(x - 1), x]] 

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 4 
sblair