3Dポイントを2D平面に投影する
Aを3D座標x、y、zを持つポイントとし、それらを2D座標x、yに変換したいとします。投影は、与えられた法線によって定義される平面上で直交します。法線が実際に軸の1つである単純なケースでは、座標を削除するだけで簡単に解決できますが、発生する可能性が高い他のケースはどうですか？
ターゲットポイントがある場合[〜＃〜] p [〜＃〜]座標r_P = (x,y,z)で、通常のn=(nx,ny,nz)の平面で、Originを定義する必要があります平面、およびxおよびyの2つの直交方向。たとえば、Originがr_O = (ox, oy, oz)にあり、平面内の2つの座標軸がe_1 = (ex_1,ey_1,ez_1)、e_2 = (ex_2,ey_2,ez_2)で定義されている場合、直交性はDot(n,e_1)=0、Dot(n,e_2)=0、Dot(e_1,e_2)=0（ベクトルドット積）。すべての方向ベクトルshouldは正規化されていることに注意してください（大きさは1でなければなりません）。
ターゲットポイント[〜＃〜] p [〜＃〜]は、方程式に従う必要があります。
r_P = r_O + t_1*e_1 + t_2*e_2 + s*n
ここで、t_1およびt_2は、e_1およびe_2およびsに沿った2D座標で、平面と点の間の通常の分離（距離）です。
投影によってスカラーが見つかります：
s = Dot(n, r_P-r_O)
t_1 = Dot(e_1, r_P-r_O)
t_2 = Dot(e_2, r_P-r_O)
平面Origin r_O = (-1,3,1)と法線の例：
n = r_O/|r_O| = (-1/√11, 3/√11, 1/√11)
たとえば、2D座標の直交方向を選択する必要があります。
e_1 = (1/√2, 0 ,1/√2)
e_2 = (-3/√22, -2/√22, 3/√22)
Dot(n,e_1) = 0およびDot(n,e_2) = 0およびDot(e_1, e_2) = 0など。
ポイントの2D座標[〜＃〜] p [〜＃〜]r_P=(1,7,-3)は次のとおりです。
t_1 = Dot(e_1, r_P-r_O) = ( 1/√2,0,1/√2)·( (1,7,-3)-(-1,3,1) ) = -√2
t_2 = Dot(e_2, r_P-r_O) = (-3/√22, -2/√22, 3/√22)·( (1,7,-3)-(-1,3,1) ) = -26/√22
面外分離：
s = Dot(n, r_P-r_O) = 6/√11
Aの法線方向への射影を見つける 。次に、その投影をAから減算します。残っているのは、Aの直交平面への投影です。
ユニットの法線方向nへのAの射影は、次の式で与えられます。
_(A · n) n
_A = (x, y, z)で、法線の単位がn = (nx, ny, nz)で与えられる場合、nへのAの射影は
_(x*nx + y*ny + z*nz) n
_したがって、直交平面へのAの投影は
_A - (A · n) n
= (x, y, z) - (x*nx + y*ny + z*nz) (nx, ny, nz)
_たとえば、A =（1,2,3）で、nが方向（4,5,6）の法線単位である場合、
_In [12]: A
Out[12]: array([1, 2, 3])
In [17]: d
Out[17]: array([4, 5, 6])
In [20]: n = d/sqrt(4*4 + 5*5 + 6*6) # make n a unit vector
In [13]: n
Out[13]: array([ 0.45584231, 0.56980288, 0.68376346])
_したがって、直交平面へのAの投影は
_In [15]: A - np.dot(A,n)*n
Out[15]: array([-0.66233766, -0.07792208, 0.50649351])
_2D座標を見つける方法：
直交平面上に2D座標系を定義する必要があります。つまり、_x-axis_と_y-axis_の場所を定義する必要があります。たとえば、（上記の計算を使用して）_x-axis_を（1,0,0）の直交平面への射影になるように定義できます。これは、（1,0,0）が平面に垂直である縮退した場合を除いて機能します。
xおよびy軸方向の単位ベクトルを作成したら、Aおよびxにyを直接投影できます。これらのベクトルの大きさは2D座標です。
たとえば、これは平面への（1,0,0）の投影です。これをx軸方向とします。
_In [42]: x = np.array([1,0,0])
In [45]: x = x - np.dot(x, n) * n
In [52]: x /= sqrt((x**2).sum()) # make x a unit vector
In [53]: x
Out[53]: array([ 0.89006056, -0.29182313, -0.35018776])
_ここで、y軸方向を計算します。_y-axis_方向は、法線方向nとxの両方に垂直でなければなりません。したがって、yを 外積 のnとxに定義できます。
_In [68]: y = np.cross(n, x)
In [69]: y
Out[69]: array([ -2.77555756e-17, 7.68221280e-01, -6.40184400e-01])
_平面内のAの座標は次のとおりです。
_In [70]: np.dot(A, x), np.dot(A, y)
Out[70]: (-0.74414898890755965, -0.38411063979868798)
_