chmod 770のどの部分を誤解していますか？
ユーザー、グループ、権限を試してみました。結果は以下のとおりです。
vagrant@cats:/$ ls -l | grep home
drwxr-xr-x 5 root admin 4096 Sep 28 05:49 home
vagrant@cats:/$ cat /etc/group | grep "^admin"
admin:x:1002:vagrant
vagrant@cats:/$ cd home
vagrant@cats:/home$ pwd
/home
vagrant@cats:/home$ cd ..
vagrant@cats:/$ Sudo chmod 770 home
vagrant@cats:/$ ls -l | grep home
drwxrwx--- 5 root admin 4096 Sep 28 05:49 home
vagrant@cats:/$ cd home
-bash: cd: home: Permission denied
vagrant@cats:/$ ?
参加できない理由がわかりません。ユーザーvagrantはグループadminに属しており、グループadminはディレクトリhomeを所有しています。 home内のファイルを読み取り、書き込み、または実行できるのは、所有者またはグループのメンバーのみです。しかし、何らかの理由で私は締め出されています。ここで何が欠けていますか？
ユーザーに変更を加えた場合（グループの追加や変更など）、ユーザーを有効にするには、ログアウトしてから再度ログインする必要があります。または、サブシェルで独自のユーザーに変更することもできます（su vagrant） そしてさらに試みる。