「サーバー」について
pool_mode
サーバー接続を他のクライアントがいつ再利用できるかを指定します。
session：クライアントが切断した後、サーバーは解放されてプールに戻ります。デフォルト。
transaction：サーバーは、トランザクションの完了後に解放されてプールに戻ります。
「サーバー接続を再利用できる」と「サーバーがプールに解放される」の意味を説明してください。
この2行で「サーバー」とは、pgbouncerによって管理されるPostgreSQLへの接続を意味すると思います。 「サーバー接続は再利用できます」とは、postgreSQLへの確立された接続が閉じられずに開いたままであり、別のクライアントによって使用されることを意味します。このコンテキストでは、プールへの「サーバーが解放される」と同じ意味であることを理解しています。PostgreSQLへの接続は開いたままで、別のクライアントによって使用されます。
これが connexion pooling が機能する方法です。
あなたは正しいです、説明は非常に簡潔です。
「サーバー」とは、ドキュメントは「サーバー接続」、つまりpgBouncerとPostgreSQL間の永続的な接続（pgBouncerとデータベースクライアント間の「クライアント接続」の反対）を意味します。