線分上の2つの他の点の間にある点をどのように判断できますか？
各ポイントのx整数とy整数で表される2つのポイント（aおよびbと呼ばれる）を持つ2次元の平面があるとします。
別の点cがaとbで定義された線分上にあるかどうかをどのように判断できますか
私はpythonほとんどを使用しますが、どの言語の例も役立ちます。
ダリウス・ベーコンが言うように、外積 of（b-a）と（c-a）が0であるかどうかを確認します。
ただし、cがaとbの間にあるかどうかを知りたいので、（ba）と（ca）のdot productがpositiveであることも確認する必要がありますおよびlessは、aとbの間の距離の2乗よりも小さい。
最適化されていない擬似コードの場合：
def isBetween(a, b, c):
crossproduct = (c.y - a.y) * (b.x - a.x) - (c.x - a.x) * (b.y - a.y)
# compare versus epsilon for floating point values, or != 0 if using integers
if abs(crossproduct) > epsilon:
return False
dotproduct = (c.x - a.x) * (b.x - a.x) + (c.y - a.y)*(b.y - a.y)
if dotproduct < 0:
return False
squaredlengthba = (b.x - a.x)*(b.x - a.x) + (b.y - a.y)*(b.y - a.y)
if dotproduct > squaredlengthba:
return False
return True
これが私がそれをする方法です：
def distance(a,b):
return sqrt((a.x - b.x)**2 + (a.y - b.y)**2)
def is_between(a,c,b):
return distance(a,c) + distance(c,b) == distance(a,b)
b-aとc-a is0の外積：すべてのポイントが同一線上にあることを確認します。ある場合、cの座標がaとbの間にあるかどうかを確認します。 aとbがその軸上で分離されている（または両方で同じである）限り、x座標またはy座標のいずれかを使用します。
def is_on(a, b, c):
"Return true iff point c intersects the line segment from a to b."
# (or the degenerate case that all 3 points are coincident)
return (collinear(a, b, c)
and (within(a.x, c.x, b.x) if a.x != b.x else
within(a.y, c.y, b.y)))
def collinear(a, b, c):
"Return true iff a, b, and c all lie on the same line."
return (b.x - a.x) * (c.y - a.y) == (c.x - a.x) * (b.y - a.y)
def within(p, q, r):
"Return true iff q is between p and r (inclusive)."
return p <= q <= r or r <= q <= p
この答えは、以前は3つの更新の混乱でした。それらからの価値のある情報：Brian Hayesの chapter inBeautiful Codeは共線性テスト関数の設計空間をカバーしています-有用ですバックグラウンド。 Vincentの答え これを改善するのに役立ちました。そして、x座標またはy座標のいずれかのみをテストすることを提案したのはHayesでした。元々、コードにはif a.x != b.x elseの代わりにandがありました。
別のアプローチを次に示します。
- 2つのポイントをA（x1、y1）とB（x2、y2）と仮定しましょう
- それらの点を通過する線の方程式は、（x-x1）/（y-y1）=（x2-x1）/（y2-y1）..（傾斜を等しくするだけです）
以下の場合、ポイントC（x3、y3）はAとBの間にあります。
- x3、y3は上記の式を満たします。
- x3はx1とx2の間にあり、y3はy1とy2の間にあります（簡単なチェック）
セグメントの長さは重要ではないため、平方根を使用する必要はありません。精度を失う可能性があるため、避ける必要があります。
class Point:
def __init__(self, x, y):
self.x = x
self.y = y
class Segment:
def __init__(self, a, b):
self.a = a
self.b = b
def is_between(self, c):
# Check if slope of a to c is the same as a to b ;
# that is, when moving from a.x to c.x, c.y must be proportionally
# increased than it takes to get from a.x to b.x .
# Then, c.x must be between a.x and b.x, and c.y must be between a.y and b.y.
# => c is after a and before b, or the opposite
# that is, the absolute value of cmp(a, b) + cmp(b, c) is either 0 ( 1 + -1 )
# or 1 ( c == a or c == b)
a, b = self.a, self.b
return ((b.x - a.x) * (c.y - a.y) == (c.x - a.x) * (b.y - a.y) and
abs(cmp(a.x, c.x) + cmp(b.x, c.x)) <= 1 and
abs(cmp(a.y, c.y) + cmp(b.y, c.y)) <= 1)
ランダムな使用例：
a = Point(0,0)
b = Point(50,100)
c = Point(25,50)
d = Point(0,8)
print Segment(a,b).is_between(c)
print Segment(a,b).is_between(d)
C++でコードを指定して、別の方法でこれを実行します。 2つのポイントl1とl2を考えると、それらの間の線分を次のように表現するのは簡単です。
l1 + A(l2 - l1)
ここで、0 <= A <=1。これは、この問題にそれを使用するだけでなく、それ以上に興味がある場合、線のベクトル表現として知られています。これのxおよびy成分を分割して、以下を与えることができます。
x = l1.x + A(l2.x - l1.x)
y = l1.y + A(l2.y - l1.y)
点（x、y）を取り、そのxおよびy成分をこれらの2つの式に代入してAを解きます。両方の式のAの解が等しく、0 <= A <= 1の場合、点は線上にあります。 Aを解くには除算が必要です。ラインセグメントが水平または垂直のときにゼロによる除算を停止するための処理が必要な特別な場合があります。最終的な解決策は次のとおりです。
// Vec2 is a simple x/y struct - it could very well be named Point for this use
bool isBetween(double a, double b, double c) {
// return if c is between a and b
double larger = (a >= b) ? a : b;
double smaller = (a != larger) ? a : b;
return c <= larger && c >= smaller;
}
bool pointOnLine(Vec2<double> p, Vec2<double> l1, Vec2<double> l2) {
if(l2.x - l1.x == 0) return isBetween(l1.y, l2.y, p.y); // vertical line
if(l2.y - l1.y == 0) return isBetween(l1.x, l2.x, p.x); // horizontal line
double Ax = (p.x - l1.x) / (l2.x - l1.x);
double Ay = (p.y - l1.y) / (l2.y - l1.y);
// We want Ax == Ay, so check if the difference is very small (floating
// point comparison is fun!)
return fabs(Ax - Ay) < 0.000001 && Ax >= 0.0 && Ax <= 1.0;
}
線形代数（ベクトルの外積）についての多くの言及があり、これは実（すなわち連続または浮動小数点）空間で機能しますが、2つの点はintegers したがって、近似積は得られますが、外積は正しい解ではありません。
正しい解決策は、2つのポイントの間に Bresenham's Line Algorithm を使用し、3番目のポイントがライン上のポイントの1つであるかどうかを確認することです。アルゴリズムの計算がパフォーマンスに欠けるほどポイントが十分に離れている場合（そして、そのためには本当に大きくなければならないでしょう）掘り下げて最適化を見つけることができると確信しています。
より幾何学的なアプローチを使用して、次の距離を計算します。
ab = sqrt((a.x-b.x)**2 + (a.y-b.y)**2)
ac = sqrt((a.x-c.x)**2 + (a.y-c.y)**2)
bc = sqrt((b.x-c.x)**2 + (b.y-c.y)**2)
ac + bcがabと等しいかどうかをテストします。
is_on_segment = abs(ac + bc - ab) < EPSILON
3つの可能性があるためです。
- 3点は三角形を形成します=> ac + bc> ab
- それらは同一直線上にあり、cはabセグメントの外側にあります=> ac + bc> ab
- それらは同一直線上にあり、cはabセグメントの内側にあります=> ac + bc = ab
（c-a）と（b-a）の間のスカラー積は、それらの長さの積に等しくなければなりません（これは、ベクトル（c-a）と（b-a）が同じ方向に整列していることを意味します）。さらに、（c-a）の長さは（b-a）の長さ以下でなければなりません。擬似コード：
# epsilon = small constant
def isBetween(a, b, c):
lengthca2 = (c.x - a.x)*(c.x - a.x) + (c.y - a.y)*(c.y - a.y)
lengthba2 = (b.x - a.x)*(b.x - a.x) + (b.y - a.y)*(b.y - a.y)
if lengthca2 > lengthba2: return False
dotproduct = (c.x - a.x)*(b.x - a.x) + (c.y - a.y)*(b.y - a.y)
if dotproduct < 0.0: return False
if abs(dotproduct*dotproduct - lengthca2*lengthba2) > epsilon: return False
return True
ユーザーカーソルが特定の行の上または近くにあるかどうかを検出するために、html5キャンバスで使用するjavascriptにはこれが必要でした。だから、Darius Baconからの回答をcoffeescriptに変更しました。
is_on = (a,b,c) ->
# "Return true if point c intersects the line segment from a to b."
# (or the degenerate case that all 3 points are coincident)
return (collinear(a,b,c) and withincheck(a,b,c))
withincheck = (a,b,c) ->
if a[0] != b[0]
within(a[0],c[0],b[0])
else
within(a[1],c[1],b[1])
collinear = (a,b,c) ->
# "Return true if a, b, and c all lie on the same line."
((b[0]-a[0])*(c[1]-a[1]) < (c[0]-a[0])*(b[1]-a[1]) + 1000) and ((b[0]-a[0])*(c[1]-a[1]) > (c[0]-a[0])*(b[1]-a[1]) - 1000)
within = (p,q,r) ->
# "Return true if q is between p and r (inclusive)."
p <= q <= r or r <= q <= p
線分上の任意の点（a、b）（ここでaおよびbはベクトル） 2つのベクトルの線形結合としてaおよびb：
つまり、cが線分上にある場合（a、b）：
c = ma + (1 - m)b, where 0 <= m <= 1
mを解くと、次のようになります：
m = (c.x - b.x)/(a.x - b.x) = (c.y - b.y)/(a.y - b.y)
したがって、テストは（Pythonの場合）になります。
def is_on(a, b, c):
"""Is c on the line segment ab?"""
def _is_zero( val ):
return -epsilon < val < epsilon
x1 = a.x - b.x
x2 = c.x - b.x
y1 = a.y - b.y
y2 = c.y - b.y
if _is_zero(x1) and _is_zero(y1):
# a and b are the same point:
# so check that c is the same as a and b
return _is_zero(x2) and _is_zero(y2)
if _is_zero(x1):
# a and b are on same vertical line
m2 = y2 * 1.0 / y1
return _is_zero(x2) and 0 <= m2 <= 1
Elif _is_zero(y1):
# a and b are on same horizontal line
m1 = x2 * 1.0 / x1
return _is_zero(y2) and 0 <= m1 <= 1
else:
m1 = x2 * 1.0 / x1
if m1 < 0 or m1 > 1:
return False
m2 = y2 * 1.0 / y1
return _is_zero(m2 - m1)
これが学校でのやり方です。なぜそれが良いアイデアではないのか忘れました。
編集：
@Darius Bacon： 「美しいコード」の本を引用 これには、以下のコードが良い考えではない理由の説明が含まれています。
#!/usr/bin/env python
from __future__ import division
epsilon = 1e-6
class Point:
def __init__(self, x, y):
self.x, self.y = x, y
class LineSegment:
"""
>>> ls = LineSegment(Point(0,0), Point(2,4))
>>> Point(1, 2) in ls
True
>>> Point(.5, 1) in ls
True
>>> Point(.5, 1.1) in ls
False
>>> Point(-1, -2) in ls
False
>>> Point(.1, 0.20000001) in ls
True
>>> Point(.1, 0.2001) in ls
False
>>> ls = LineSegment(Point(1, 1), Point(3, 5))
>>> Point(2, 3) in ls
True
>>> Point(1.5, 2) in ls
True
>>> Point(0, -1) in ls
False
>>> ls = LineSegment(Point(1, 2), Point(1, 10))
>>> Point(1, 6) in ls
True
>>> Point(1, 1) in ls
False
>>> Point(2, 6) in ls
False
>>> ls = LineSegment(Point(-1, 10), Point(5, 10))
>>> Point(3, 10) in ls
True
>>> Point(6, 10) in ls
False
>>> Point(5, 10) in ls
True
>>> Point(3, 11) in ls
False
"""
def __init__(self, a, b):
if a.x > b.x:
a, b = b, a
(self.x0, self.y0, self.x1, self.y1) = (a.x, a.y, b.x, b.y)
self.slope = (self.y1 - self.y0) / (self.x1 - self.x0) if self.x1 != self.x0 else None
def __contains__(self, c):
return (self.x0 <= c.x <= self.x1 and
min(self.y0, self.y1) <= c.y <= max(self.y0, self.y1) and
(not self.slope or -epsilon < (c.y - self.y(c.x)) < epsilon))
def y(self, x):
return self.slope * (x - self.x0) + self.y0
if __== '__main__':
import doctest
doctest.testmod()
ここにいくつかのJava私のために働いたコードがあります：
boolean liesOnSegment(Coordinate a, Coordinate b, Coordinate c) {
double dotProduct = (c.x - a.x) * (c.x - b.x) + (c.y - a.y) * (c.y - b.y);
if (dotProduct < 0) return true;
return false;
}
c＃From http://www.faqs.org/faqs/graphics/algorithms-faq/ -> Subject 1.02：ポイントからラインまでの距離を調べるにはどうすればよいですか？
Boolean Contains(PointF from, PointF to, PointF pt, double epsilon)
{
double segmentLengthSqr = (to.X - from.X) * (to.X - from.X) + (to.Y - from.Y) * (to.Y - from.Y);
double r = ((pt.X - from.X) * (to.X - from.X) + (pt.Y - from.Y) * (to.Y - from.Y)) / segmentLengthSqr;
if(r<0 || r>1) return false;
double sl = ((from.Y - pt.Y) * (to.X - from.X) - (from.X - pt.X) * (to.Y - from.Y)) / System.Math.Sqrt(segmentLengthSqr);
return -epsilon <= sl && sl <= epsilon;
}
UnityでC＃を使用した私のソリューションを次に示します。
private bool _isPointOnLine( Vector2 ptLineStart, Vector2 ptLineEnd, Vector2 ptPoint )
{
bool bRes = false;
if((Mathf.Approximately(ptPoint.x, ptLineStart.x) || Mathf.Approximately(ptPoint.x, ptLineEnd.x)))
{
if(ptPoint.y > ptLineStart.y && ptPoint.y < ptLineEnd.y)
{
bRes = true;
}
}
else if((Mathf.Approximately(ptPoint.y, ptLineStart.y) || Mathf.Approximately(ptPoint.y, ptLineEnd.y)))
{
if(ptPoint.x > ptLineStart.x && ptPoint.x < ptLineEnd.x)
{
bRes = true;
}
}
return bRes;
}
勾配が同じであり、ポイントが他のポイントの間にあることを確認するだけではどうですか？
与えられた点（x1、y1）および（x2、y2）（x2> x1）および候補点（a、b）
if（b-y1）/（a-x1）=（y2-y2）/（x2-x1）And x1 <a <x2
（a、b）は（x1、y1）と（x2、y2）の間の行になければなりません
Vector2Dクラスを使用したC＃での回答
public static bool IsOnSegment(this Segment2D @this, Point2D c, double tolerance)
{
var distanceSquared = tolerance*tolerance;
// Start of segment to test point vector
var v = new Vector2D( @this.P0, c ).To3D();
// Segment vector
var s = new Vector2D( @this.P0, @this.P1 ).To3D();
// Dot product of s
var ss = s*s;
// k is the scalar we multiply s by to get the projection of c onto s
// where we assume s is an infinte line
var k = v*s/ss;
// Convert our tolerance to the units of the scalar quanity k
var kd = tolerance / Math.Sqrt( ss );
// Check that the projection is within the bounds
if (k <= -kd || k >= (1+kd))
{
return false;
}
// Find the projection point
var p = k*s;
// Find the vector between test point and it's projection
var vp = (v - p);
// Check the distance is within tolerance.
return vp * vp < distanceSquared;
}
ご了承ください
s * s
c＃での演算子のオーバーロードを介したセグメントベクトルの内積です。
重要な点は、無限線への点の投影を利用し、投影のスカラー量が投影がセグメント上にあるかどうかを簡単に示していることを観察することです。スカラー量の境界を調整して、ファジー許容値を使用できます。
投影が境界内にある場合、ポイントから投影までの距離が境界内にあるかどうかをテストします。
クロス積アプローチに勝る利点は、許容値に有意義な値があることです。
ジュールの答えのC＃バージョン：
public static double CalcDistanceBetween2Points(double x1, double y1, double x2, double y2)
{
return Math.Sqrt(Math.Pow (x1-x2, 2) + Math.Pow (y1-y2, 2));
}
public static bool PointLinesOnLine (double x, double y, double x1, double y1, double x2, double y2, double allowedDistanceDifference)
{
double dist1 = CalcDistanceBetween2Points(x, y, x1, y1);
double dist2 = CalcDistanceBetween2Points(x, y, x2, y2);
double dist3 = CalcDistanceBetween2Points(x1, y1, x2, y2);
return Math.Abs(dist3 - (dist1 + dist2)) <= allowedDistanceDifference;
}
ウェッジとドット積を使用できます：
def dot(v,w): return v.x*w.x + v.y*w.y
def wedge(v,w): return v.x*w.y - v.y*w.x
def is_between(a,b,c):
v = a - b
w = b - c
return wedge(v,w) == 0 and dot(v,w) > 0