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Pythonで指数曲線および対数曲線のフィッティングを行う方法は？多項式近似のみが見つかりました

データのセットがあり、どの行がそれを最もよく説明しているかを比較したい（指数または対数の異なる次数の多項式）。

PythonとNumpyを使用し、多項式近似には関数polyfit()があります。しかし、指数関数および対数近似のためのそのような関数は見つかりませんでした。

いずれかがあります？それともそうでなければそれを解決する方法？

pythonnumpyscipycurve-fittinglinear-regression
119
Tomas Novotny

フィッティングの場合y = A + B log x、ジャストフィットyに対して（log x）。

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

フィッティングの場合y = AeBx、両側の対数を取ると、log y = log A + Bxが得られます。したがって、xに対して（log y）に適合します。

フィッティング（log y）が線形であるかのようにフィッティングするとyの小さな値が強調され、大きなyに対して大きな偏差が生じます。これは、polyfit（線形回帰）がminimizingを最小化することで機能するためです。i （ΔY）2 = ∑i （Y私 − Ŷi）2。 Yの場合i =ログyi、残基ΔYi =Δ（log yi）≈Δyi / | yi|。したがって、たとえpolyfitが大きなyに対して非常に悪い決定をしたとしても、 "divide-by y |"係数はそれを補正し、polyfitは小さな値を優先します。

これは、各エントリにyに比例する「重み」を与えることで軽減できます。 polyfitは、wキーワード引数により、重み付き最小二乗をサポートします。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

Excel、LibreOffice、およびほとんどの科学計算用電卓は通常、指数回帰/傾向線に重みのない（偏った）式を使用することに注意してください。結果を表示したい場合これらのプラットフォームと互換性があるため、より良い結果が得られる場合でも重みを含めないでください。

現在、scipyを使用できる場合は、---（scipy.optimize.curve_fit を使用して、変換なしで任意のモデルに適合させることができます。

y = A + B log xの場合、結果は変換方法と同じです。

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

y = Aeの場合Bxただし、Δ（log y）を直接計算するため、より適切に適合させることができます。ただし、curve_fitが目的のローカルミニマムに到達できるように、初期化推測を提供する必要があります。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.

comparison of exponential regression

167
kennytm

curve_fitからscipy.optimizeを使用して、好きな関数にデータのセットを適合させることもできます。たとえば、指数関数を当てはめたい場合（ documentation から）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

x = np.linspace(0,4,50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

そして、プロットしたい場合は、次のことができます：

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

（注：プロットするときにpoptの前にある*は、aが期待するb、c、およびfuncに用語を展開します。）

91
IanVS

私はこれでいくつかの問題を抱えていたので、私のような初心者が理解できるように非常にはっきりさせてください。

データファイルまたはそのようなものがあるとしましょう

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym

"""
Generate some data, let's imagine that you already have this. 
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)

"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")

"""
brutal force to avoid errors
"""    
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats 
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work

"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you. 
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d

"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('\lambda')    
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(\lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)

"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""

plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above \/
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve") 

plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

結果は次のとおりです。a= 0.849195983017、b = -1.18101681765、c = 2.24061176543、d = 0.816643894816

Raw data and fitted function

40
Leandro

いつでも使用できると思います：

np.log   -->  natural log
np.log10 -->  base 10
np.log2  -->  base 2

少し変更 IanVSの答え ：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
  #return a * np.exp(-b * x) + c
  return a * np.log(b * x) + c

x = np.linspace(1,5,50)   # changed boundary conditions to avoid division by 0
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

これにより、次のグラフが表示されます。

enter image description here

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murphy1310