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再帰関数の明示的な形式を計算する方法は？

私はこの再帰関数を持っています：

f(n) = 2 * f(n-1) + 3 * f(n-2) + 4
f(1) = 2
f(2) = 8

私は経験からそれの明示的な形式が次のようになることを知っています：

f(n) = 3 ^ n - 1  // pow(3, n) - 1

それを証明する方法があるかどうか知りたいです。少しググってみましたが、わかりやすいものは見つかりませんでした。母関数がおそらくそれを解決することを私はすでに知っています、それらは複雑すぎます、私はむしろそれらに入りたくありません。もっと簡単な方法を探しています。

P.S.それが私がこのような何かがそれを解決したことを思い出すのを助けるならば：

f(n) = 2 * f(n-1) + 3 * f(n-2) + 4
// consider f(n) = x ^ n
x ^ n = 2 * x ^ (n-1) + 3 * x ^ (n-2) + 4

そして、あなたはどういうわけかxを計算して、再帰式の明示的な形式に導きましたが、私は完全に覚えていません

recursionformulaexplicit
15
atoMerz
f(n) = 2 * f(n-1) + 3 * f(n-2) + 4
f(n+1) = 2 * f(n) + 3 * f(n-1) + 4

f(n+1)-f(n) = 2 * f(n) - 2 * f(n-1) + 3 * f(n-1) - 3 * f(n-2)
f(n+1) = 3 * f(n) + f(n-1) - 3 * f(n-2)

これで4つはなくなりました。あなたが言ったように、次のステップはf(n) = x ^ n

x^(n+1) = 3 * x^n + x^(n-1) - 3 * x^(n-2)

x ^（n-2）で割る

x^3 = 3 * x^2 + x - 3
x^3 - 3 * x^2 - x + 3 = 0

xを見つけるための因数分解

(x-3)(x-1)(x+1) = 0
x = -1 or 1 or 3

f(n) = A * (-1)^n + B * 1^n + C * 3^n
f(n) = A * (-1)^n + B + C * 3^n

今あなたが持っている値を使用してA、B、Cを見つけます

f(1) = 2; f(2) = 8; f(3) = 26

f(1) = 2 = -A + B + 3C
f(2) = 8 = A + B + 9C
f(3) = 26 = -A + B + 27C

a、B、Cの解決：

f(3)-f(1) = 24 = 24C      => C = 1
f(2)-f(1) = 6 = 2A + 6    => A = 0
2 = B + 3                 => B = -1

最後に

f(n) = 3^n - 1
12
Alex

さて、あなたが関数（これからはGF）やすべての複雑なものを生成したくないことは知っていますが、私の問題は非線形であることが判明し、単純な線形法は機能していないようです。ですから、丸一日検索した後、私は答えを見つけました。うまくいけば、これらの発見が他の人の助けになるでしょう。

私の問題：a [n + 1] = a [n] /（1 + a [n]）（つまり、線形（または多項式）ではありませんが、完全に非線形ではありません-これは有理差分方程式です）

  1. 漸化式が線形（または多項式）の場合、 wikihow にはステップバイステップの説明があります（GFありとなし）
  2. gFについて何か読みたい場合は、 this wiki にアクセスしてください。ただし、例を実行し始めるまでわかりませんでした（次を参照）。
  3. GFの使用例 フィボナッチ
  4. 前の例が意味をなさない場合は、 GF book をダウンロードして、最も単純なGFの例を読んでください（セクション1.1、つまりa [n + 1] = 2 a [n] + 1、次に1.2、a [n + 1] = 2 a [n] +1、次に1.3-フィボナッチ）
  5. （私が本のトピックにいる間）templatetypedefはConcrete Mathematicsについて言及しました、ダウンロード ここ 、しかしそれが再発、合計、そしてGFを持っていることを除いて、私はそれについてあまり知りません335ページの章（とりわけ）と単純なGFの表
  6. 非線形のものについて深く掘り下げていくと、 このページ が表示されました。これを使用すると、z変換アプローチで失敗し、線形代数を試しませんでしたが、有理数の差eqnへのリンクが最適でした（次を参照）ステップ）
  7. このページ のように、有理関数は、多項式に変換して、上記のステップ1、3、および4の線形メソッドを使用できるため、優れています。これは、手で書き、おそらくいくつかの間違いを犯しました。 、なぜなら（8を参照）
  8. Mathematica （または無料の WolframAlpha ）には漸化式ソルバーがあり、RSolve[{a[n + 1] == a[n]/(1 + a[n]), a[1] == A}, a[n], n]を使用すると単純な{{a[n] -> A/(1 - A + A n)}}が得られます。だから私は戻って手計算の間違いを探すと思います（それらは変換プロセス全体がどのように機能するかを理解するのに役立ちます）。

とにかく、これが役立つことを願っています。

5
alexey

一般に、再帰形式を反復形式に変換するためのアルゴリズムはありません。この問題は決定不可能です。例として、コラッツシーケンスを定義するこの再帰関数定義について考えてみます。

f(1) = 0
f(2n) = 1 + f(n)
f(2n + 1) = 1 + f(6n + 4)

これが明確に定義された関数であるかどうかは不明です。これを閉じた形に変換できるアルゴリズムが存在する場合、それが明確に定義されているかどうかを判断できます。

ただし、多くの一般的なケースでは、再帰的定義を反復定義に変換することができます。優れた教科書ConcreteMathematicsは、そのページの多くをその方法を示しています。答えが何であるかを推測しているときに非常にうまく機能する一般的な手法の1つは、誘導を使用することです。あなたのケースの例として、再帰的定義が実際に3 ^ n-1を与えると信じていると仮定します。これを証明するには、基本ケースに当てはまることを証明してみてください。次に、この知識によってソリューションを上向きに一般化できることを示してください。 。あなたはあなたの投稿にベースケースを入れていませんでしたが、私はそれを仮定しています

f(0) = 0
f(1) = 2

これを踏まえて、あなたの勘が正しいかどうかを見てみましょう。 0と1の特定の入力について、関数が3 ^ n-1を計算することを検査によって確認できます。帰納的ステップでは、すべてのn '<nについてf(n) = 3 ^ n-1。それで、

f(n) = 2f(n - 1) + 3f(n - 2) + 4
     = 2 * (3^{n-1} - 1) + 3 * (3^{n-2} - 1) + 4
     = 2 * 3^{n-1} - 2 + 3^{n-1} - 3 + 4
     = 3 * 3^{n-1} - 5 + 4
     = 3^n - 1

したがって、この再帰関数が実際に3 ^ n-1を生成することを証明しました。

2
templatetypedef