OpenSSL：ソケット：接続が拒否されましたconnect：errno = 111
クライアントから1つのLinuxサーバーに接続しようとしていますが、
openssl s_client -connect <IP of Server>:443
次のエラーが表示されます。
ソケット：接続が拒否されました
connect：errno = 111
任意のツールでサーバーのポートを確認してください。例えば、
nmap <IP>
Starting Nmap 5.21 ( http://nmap.org ) at 2015-05-05 09:33 IST
Nmap scan report for <IP>
Host is up (0.00036s latency).
Not shown: 996 closed ports
PORT STATE SERVICE
22/tcp open ssh
111/tcp open *****
139/tcp open *****
443/tcp open openssl
MAC Address: 18:03:73:DF:DC:62 (Unknown)
ポート番号がオープン状態であることを確認します。
コメントで述べたように、ホスト名がありません。あなたはポート番号の直前に言及するでしょう。
$ openssl s_client -connect myHost.com:443
編集：コマンドにホスト名があることを言及したので、ここで大丈夫です。ホスト/ポートがブロックされているかどうかを確認し、ファイアウォールとしてiptablesである場合（Linuxを想定）、接続を許可するルールを追加する必要があります。
これはSSLとは関係ありません。接続拒否は、サーバーがないか、接続がファイアウォールによってブロックされていることを意味します。あなたの場合（編集前）、サーバーも間違っています。つまり、「：443」は有効なサーバー名ではありません（ホスト名がありません）。