これには、サードパーティのアプリケーションが必要になると思われます。
電話にSMS通知を送信する方法はありません(ほとんど私が探しているものです)。
また、特定のユーザーだけにメールを送信できれば、さらに良くなります。
TweetyMail.com を試すことができます。 FAQから:
tweetymailは、Twitterへの完全なメールインターフェイスです。
問題のTwitterタイムラインのRSSフィードで feedmyinbox のようなRSSからメールへのゲートウェイを使用できます。